ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання річної контрольної роботи (Варіант 2)

Обкладинка книги ГДЗ Геометрія 8 клас Істер 2025

ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу».

Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).

Умова

1. Сторони паралелограма дорівнюють 5 см і 4 см. Знайдіть його периметр.
А. 20 см; Б. 18 см; В. 9 см; Г. 16 см.

2. Тупий кут ромба дорівнює 130°. Знайдіть гострий кут ромба.
А. 30°; Б. 40°; В. 60°; Г. 50°.

3. Одна зі сторін трикутника дорівнює 8 см, а висота, що проведена до неї, — 5 см. Знайдіть площу трикутника.
А. 20 см²; Б. 10 см²; В. 40 см²; Г. 13 см².

4. Знайдіть основи трапеції, якщо одна з них удвічі більша за іншу, а середня лінія трапеції дорівнює 9 см.

5. $\triangle PFT \sim \triangle P_1F_1T_1$, $PF = 4$ см, $FT = 6$ см, $F_1T_1 = 9$ см, $P_1T_1 = 12$ см. Знайдіть $P_1F_1$ і $PT$.

6. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 4 см і 5 см. Знайдіть довжину медіани трикутника, що проведена до меншого катета.

7. Розв'яжіть трикутник $ABC$, у якого $\angle C = 90^\circ$, $AB = 15$ см, $AC = 12$ см (кути знайдіть з точністю до градуса).

8. Площа прямокутника дорівнює 350 см², а його сторони відносяться як $2 : 7$. Знайдіть сторони прямокутника.

9. Точка дотику кола, вписаного в прямокутну трапецію, ділить її більшу бічну сторону на відрізки 4 см і 9 см. Знайдіть площу трапеції.

Короткий розв'язок

1. $P = 2(5 + 4) = 18$ см $\implies$ Б.

2. $180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \implies$ Г.

3. $S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 = 20$ см² $\implies$ А.

4. $(x + 2x)/2 = 9 \implies 3x = 18 \implies x = 6$. Основи: 6 см і 12 см.

5. $k = 9/6 = 1,5$. $P_1F_1 = 4 \cdot 1,5 = 6$ см; $PT = 12 / 1,5 = 8$ см.

6. $m = \sqrt{5^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}$ см.

7. $BC = 9$ см, $\cos A = 12/15 = 0,8 \implies \angle A \approx 37^\circ, \angle B \approx 53^\circ$.

8. $14x^2 = 350 \implies x = 5$. Сторони: 10 см і 35 см.

9. $r = \sqrt{4 \cdot 9} = 6 \implies h = 12$. $a + b = 13 + 12 = 25$. $S = \frac{25}{2} \cdot 12 = 150$ см².

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Для успішного виконання роботи необхідно знати властивості паралелограмів, трапецій, подібність трикутників та вміти застосовувати теорему Піфагора у комбінованих задачах.

1. Периметр паралелограма обчислюється як подвоєна сума двох його нерівних сторін:

$$P = 2(a + b) = 2(5 + 4) = 18 \text{ (см).}$$

Відповідь: Б.

2. Сума двох сусідніх кутів ромба дорівнює 180°. Щоб знайти гострий кут, віднімемо тупий кут від 180°:

$$180^\circ - 130^\circ = 50^\circ.$$

Відповідь: Г.

3. Площа трикутника дорівнює половині добутку сторони на висоту, проведену до неї:

$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 = 20 \text{ (см²).}$$

Відповідь: А.

4. Нехай менша основа трапеції дорівнює $x$ см, тоді більша — $2x$ см. Середня лінія дорівнює півсумі основ:

$$\frac{x + 2x}{2} = 9 \implies \frac{3x}{2} = 9 \implies 3x = 18 \implies x = 6 \text{ (см).}$$

Отже, менша основа дорівнює 6 см, а більша — $2 \cdot 6 = 12$ см.
Відповідь: 6 см, 12 см.

5. Коефіцієнт подібності $k$ знайдемо через відповідні сторони $F_1T_1$ та $FT$:

$$k = \frac{F_1T_1}{FT} = \frac{9}{6} = 1,5.$$

Знайдемо сторони:

$$P_1F_1 = PF \cdot k = 4 \cdot 1,5 = 6 \text{ (см).}$$

$$PT = \frac{P_1T_1}{k} = \frac{12}{1,5} = 8 \text{ (см).}$$

Відповідь: $P_1F_1 = 6$ см, $PT = 8$ см.

6. Менший катет прямокутного трикутника дорівнює 4 см. Медіана ділить його на відрізки по 2 см. Утворився новий прямокутний трикутник з катетами 5 см та 2 см. За теоремою Піфагора:

$$m = \sqrt{5^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29} \text{ (см).}$$

Відповідь: $\sqrt{29}$ см.

7. 1) Знайдемо катет $BC$ за теоремою Піфагора:

$$BC = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9 \text{ (см).}$$

2) Кути трикутника: $\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{12}{15} = 0,8$. За таблицями $\angle A \approx 37^\circ$.
3) $\angle B = 90^\circ - 37^\circ = 53^\circ$.
Відповідь: $BC = 9$ см, $\angle A \approx 37^\circ, \angle B \approx 53^\circ$.

8. Нехай сторони прямокутника $2x$ та $7x$. Тоді площа $S = 2x \cdot 7x = 14x^2$.

$$14x^2 = 350 \implies x^2 = 25 \implies x = 5.$$

Сторони: $2 \cdot 5 = 10$ см та $7 \cdot 5 = 35$ см.
Відповідь: 10 см, 35 см.

9. У прямокутній трапеції з вписаним колом висота $h$ дорівнює діаметру кола, а радіус $r$ обчислюється через відрізки, на які точка дотику ділить бічну сторону: $r = \sqrt{4 \cdot 9} = 6$ см. Тоді $h = 12$ см.
Властивість описаного чотирикутника: сума основ дорівнює сумі бічних сторін. Бічні сторони: $h = 12$ см та похила сторона $c = 4 + 9 = 13$ см.

$$a + b = 12 + 13 = 25 \text{ (см).}$$

Площа: $S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{25}{2} \cdot 12 = 25 \cdot 6 = 150$ (см²).
Відповідь: 150 см².