ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №1 (Варіант 1)
ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу ».
Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).
Умова
1. Укажіть фігуру, що є паралелограмом. (Надано 4 фігури: А, Б, В, Г)
2. Знайдіть четвертий кут чотирикутника, якщо три його кути дорівнюють 70°, 50° і 130°.
3. У паралелограмі гострий кут дорівнює 60°. Висота паралелограма, проведена з вершини тупого кута, ділить протилежну сторону на відрізки 4 см і 7 см, починаючи від вершини гострого кута. Знайдіть периметр паралелограма.
4. Два кути паралелограма відносяться як 2 : 3. Знайдіть кут між висотами паралелограма, проведеними з вершини тупого кута.
Короткий розв'язок
1. Б
2. $360° - (70° + 50° + 130°) = 110°$
3. $AD = 4 + 7 = 11$ (см); $AB = 4 / \cos(60°) = 8$ (см); $P = 2(11 + 8) = 38$ (см)
4. $2x + 3x = 180° \implies x = 36°$; Кут $= 2 \cdot 36° = 72°$
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Для розв'язання цих завдань ми застосуємо властивості чотирикутників та паралелограма.
1. Укажіть фігуру, що є паралелограмом.
Паралелограм – це чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні. Серед запропонованих фігур, фігура Б відповідає цьому означенню.
Відповідь: Б.
2. Знайдіть четвертий кут чотирикутника.
Сума кутів будь-якого опуклого чотирикутника дорівнює 360°. Щоб знайти четвертий кут, треба від 360° відняти суму трьох відомих кутів.
$360° - (70° + 50° + 130°) = 360° - 250° = 110°$.
Відповідь: 110°.
3. Знайдіть периметр паралелограма.
Нехай $ABCD$ – паралелограм, $\angle A = 60°$. Висота $BH$, проведена з вершини тупого кута $B$ до сторони $AD$, ділить її на відрізки $AH=4$ см і $HD=7$ см. Тоді сторона $AD = AH + HD = 4 + 7 = 11$ см.
Розглянемо прямокутний трикутник $ABH$. $\angle A = 60°$. За властивістю косинуса гострого кута: $cos(\angle A) = \frac{AH}{AB}$.
$AB = \frac{AH}{cos(60°)} = \frac{4}{1/2} = 8$ см.
Сторони паралелограма дорівнюють 8 см і 11 см. Периметр паралелограма: $P = 2(AB+AD) = 2(8+11) = 2 \cdot 19 = 38$ (см).
Відповідь: 38 см.
4. Знайдіть кут між висотами.
Сусідні кути паралелограма в сумі дають 180°. Нехай кути дорівнюють $2x$ і $3x$.
$2x + 3x = 180° \implies 5x = 180° \implies x = 36°$.
Отже, гострий кут паралелограма дорівнює $2 \cdot 36° = 72°$, а тупий – $3 \cdot 36° = 108°$.
Кут між висотами, проведеними з вершини тупого кута паралелограма, дорівнює його гострому куту.
Отже, шуканий кут дорівнює 72°.
Відповідь: 72°.
