ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №1 (Варіант 2)
ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу ».
Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).
Умова
1. Укажіть фігуру, що є паралелограмом. (Надано 4 фігури: А, Б, В, Г)
2. Три кути чотирикутника дорівнюють 70°, 60° і 140°. Знайдіть четвертий кут чотирикутника.
3. У паралелограмі тупий кут дорівнює 120°, а висота, проведена з його вершини, ділить протилежну сторону на відрізки 3 см і 4 см, починаючи від вершини тупого кута. Знайдіть периметр паралелограма.
4. Кути паралелограма відносяться як 4 : 5. Знайдіть кут між висотами, проведеними з вершини гострого кута.
Короткий розв'язок
1. Г
2. $360° - (70° + 60° + 140°) = 90°$
3. $\angle A = 180°-120°=60°$; $AD = 3+4=7$ (см); $AB = 4 / \cos(60°) = 8$ (см); $P = 2(7+8) = 30$ (см)
4. $4x + 5x = 180° \implies x = 20°$; Кут $= 5 \cdot 20° = 100°$
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Для розв'язання цих завдань ми застосуємо властивості чотирикутників та паралелограма.
1. Укажіть фігуру, що є паралелограмом.
Паралелограм – це чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні та рівні. Серед запропонованих фігур, фігура Г відповідає цьому означенню.
Відповідь: Г.
2. Знайдіть четвертий кут чотирикутника.
Сума кутів будь-якого опуклого чотирикутника дорівнює 360°. Щоб знайти четвертий кут, віднімемо суму трьох відомих кутів від 360°.
$360° - (70° + 60° + 140°) = 360° - 270° = 90°$.
Відповідь: 90°.
3. Знайдіть периметр паралелограма.
Нехай $ABCD$ – паралелограм, тупий кут $\angle B = 120°$. Тоді гострий кут $\angle A = 180° - 120° = 60°$.
Висота $BH$, проведена з вершини $B$ до сторони $AD$, ділить її на відрізки. За умовою, відрізки 3 см і 4 см рахуються від вершини тупого кута (B), але висота падає на сторону AD. Логічно припустити, що відрізки рахуються від вершини D. Отже, $HD=3$ см, $AH=4$ см. Тоді сторона $AD = AH + HD = 4 + 3 = 7$ см.
Розглянемо прямокутний трикутник $ABH$. $\angle A = 60°$. Звідси $AB = AH / \cos(60°) = 4 / (1/2) = 8$ см.
Периметр паралелограма: $P = 2(AB+AD) = 2(8+7) = 2 \cdot 15 = 30$ (см).
Відповідь: 30 см.
4. Знайдіть кут між висотами.
Сума сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180°. Нехай кути дорівнюють $4x$ і $5x$.
$4x + 5x = 180° \implies 9x = 180° \implies x = 20°$.
Гострий кут паралелограма: $4 \cdot 20° = 80°$. Тупий кут: $5 \cdot 20° = 100°$.
Кут між висотами, проведеними з вершини гострого кута паралелограма, дорівнює його тупому куту.
Отже, шуканий кут дорівнює 100°.
Відповідь: 100°.
