ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №1 (Варіант 4)
ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу ».
Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).
Умова
1. Укажіть фігуру, що є паралелограмом. (Надано 4 фігури: А, Б, В, Г)
2. Три кути чотирикутника дорівнюють 100°, 70° і 60°. Знайдіть четвертий кут чотирикутника.
3. Гострий кут паралелограма дорівнює 60°, а висота, проведена з вершини тупого кута, ділить протилежну сторону на відрізки 4 см і 6 см, починаючи з вершини тупого кута. Знайдіть периметр паралелограма.
4. Два кути паралелограма відносяться як 13 : 5. Знайдіть кут між висотами, проведеними з вершини гострого кута.
Короткий розв'язок
1. А
2. $360° - (100° + 70° + 60°) = 130°$
3. $AD = 6+4=10$ (см); $AB = 6 / \cos(60°) = 12$ (см); $P = 2(10+12) = 44$ (см)
4. $13x + 5x = 180° \implies x = 10°$; Кут $= 13 \cdot 10° = 130°$
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Для розв'язання цих завдань ми застосуємо властивості чотирикутників та паралелограма.
1. Укажіть фігуру, що є паралелограмом.
Паралелограм – це чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні. Цій умові відповідає фігура А.
Відповідь: А.
2. Знайдіть четвертий кут чотирикутника.
Сума кутів опуклого чотирикутника дорівнює 360°. Знайдемо невідомий кут:
$360° - (100° + 70° + 60°) = 360° - 230° = 130°$.
Відповідь: 130°.
3. Знайдіть периметр паралелограма.
Нехай $ABCD$ – паралелограм, гострий кут $\angle A = 60°$. Висота $BH$, проведена з вершини тупого кута $B$ на сторону $AD$. Умова "починаючи з вершини тупого кута" означає, що відрізок, дальший від гострого кута $A$, дорівнює 4 см, а ближчий - 6 см. Отже, $AH=6$ см, $HD=4$ см.
Тоді вся сторона $AD = AH + HD = 6 + 4 = 10$ см.
Розглянемо прямокутний трикутник $ABH$. Звідси $AB = AH / \cos(\angle A) = 6 / \cos(60°) = 6 / (1/2) = 12$ см.
Периметр паралелограма: $P = 2(AB+AD) = 2(12+10) = 2 \cdot 22 = 44$ (см).
Відповідь: 44 см.
4. Знайдіть кут між висотами.
Сума сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180°. Нехай кути дорівнюють $13x$ і $5x$.
$13x + 5x = 180° \implies 18x = 180° \implies x = 10°$.
Гострий кут паралелограма: $5 \cdot 10° = 50°$. Тупий кут: $13 \cdot 10° = 130°$.
Кут між висотами, проведеними з вершини гострого кута паралелограма, дорівнює його тупому куту.
Отже, шуканий кут дорівнює 130°.
Відповідь: 130°.
