ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №1 (Варіант 3)
ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу ».
Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).
Умова
1. Укажіть фігуру, що є паралелограмом. (Надано 4 фігури: А, Б, В, Г)
2. Знайдіть четвертий кут чотирикутника, якщо три його кути дорівнюють 80°, 130° і 90°.
3. Тупий кут паралелограма дорівнює 120°, а висота, проведена з вершини цього кута, ділить протилежну сторону на відрізки 5 см і 3 см, починаючи з вершини гострого кута. Знайдіть периметр паралелограма.
4. Два кути паралелограма відносяться як 7 : 11. Знайдіть кут між висотами паралелограма, проведеними з вершини тупого кута.
Короткий розв'язок
1. В
2. $360° - (80° + 130° + 90°) = 60°$
3. $\angle A = 180°-120°=60°$; $AD = 5+3=8$ (см); $AB = 5 / \cos(60°) = 10$ (см); $P = 2(8+10) = 36$ (см)
4. $7x + 11x = 180° \implies x = 10°$; Кут $= 7 \cdot 10° = 70°$
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Для розв'язання цих завдань ми застосуємо властивості чотирикутників та паралелограма.
1. Укажіть фігуру, що є паралелограмом.
Паралелограм – це чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні. Цій умові відповідає фігура В.
Відповідь: В.
2. Знайдіть четвертий кут чотирикутника.
Сума кутів опуклого чотирикутника дорівнює 360°. Знайдемо невідомий кут:
$360° - (80° + 130° + 90°) = 360° - 300° = 60°$.
Відповідь: 60°.
3. Знайдіть периметр паралелограма.
Нехай $ABCD$ – паралелограм, тупий кут $\angle B = 120°$. Тоді суміжний з ним гострий кут $\angle A = 180° - 120° = 60°$.
Висота $BH$, проведена з вершини тупого кута $B$ на сторону $AD$, ділить її на відрізки. За умовою, відрізки починаються від вершини гострого кута $A$. Отже, $AH=5$ см, $HD=3$ см. Тоді вся сторона $AD = AH + HD = 5 + 3 = 8$ см.
Розглянемо прямокутний трикутник $ABH$. Звідси $AB = AH / \cos(\angle A) = 5 / \cos(60°) = 5 / (1/2) = 10$ см.
Периметр паралелограма: $P = 2(AB+AD) = 2(10+8) = 2 \cdot 18 = 36$ (см).
Відповідь: 36 см.
4. Знайдіть кут між висотами.
Сума сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180°. Нехай кути дорівнюють $7x$ і $11x$.
$7x + 11x = 180° \implies 18x = 180° \implies x = 10°$.
Гострий кут паралелограма: $7 \cdot 10° = 70°$. Тупий кут: $11 \cdot 10° = 110°$.
Кут між висотами, проведеними з вершини тупого кута паралелограма, дорівнює його гострому куту.
Отже, шуканий кут дорівнює 70°.
Відповідь: 70°.
