ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №10 (Варіант 1)
ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу».
Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).
Умова
1. Знайдіть площу трикутника, сторона якого дорівнює 6 см, а висота, проведена до неї, — 5 см.
А. 60 см²; Б. 30 см²; В. 15 см²; Г. 7,5 см².
2. $ABCD$ — прямокутна трапеція, $CK$ — її висота, $AB = 4$ см, $AK = 3$ см, $KD = 5$ см. Знайдіть площу трапеції.
3. У рівнобедреному трикутнику висота, проведена до бічної сторони, ділить її на відрізки 5 см і 8 см, починаючи від вершини кута між бічними сторонами. Знайдіть площу трикутника.
4. Дві сторони паралелограма дорівнюють 5 см і 15 см, а сума двох його не рівних між собою висот — 16 см. Знайдіть площу паралелограма.
Короткий розв'язок
1. $S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 = 15$ см² $\implies$ В.
2. $BC=AK=3, CK=AB=4, AD=3+5=8$. $S = \frac{3+8}{2} \cdot 4 = 22$ см².
3. $AC=13, AB=13, AH=5$. $BH = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12$. $S = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 12 = 78$ см².
4. $5h_1 = 15h_2, h_1+h_2=16 \implies 3h_2+h_2=16 \implies h_2=4, h_1=12$. $S = 5 \cdot 12 = 60$ см².
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Для знаходження площ многокутників використовуємо базові формули для трикутника, трапеції та паралелограма, а також властивості висоти в рівнобедреному трикутнику.
1. Площа трикутника обчислюється за формулою $S = \frac{1}{2}ah$. Підставимо значення:
$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 = 15$ (см²).
Відповідь: В.
2. Оскільки трапеція прямокутна ($\angle A = 90^\circ$), то висота $CK$ утворює прямокутник $ABCK$.
1) $CK = AB = 4$ см.
2) Основа $BC = AK = 3$ см.
3) Основа $AD = AK + KD = 3 + 5 = 8$ см.
4) Площа трапеції $S = \frac{BC + AD}{2} \cdot CK$:
$S = \frac{3 + 8}{2} \cdot 4 = 11 \cdot 2 = 22$ (см²).
Відповідь: 22 см².
3. Нехай $\triangle ABC$ — рівнобедрений, $AB = AC$. Висота $BH$ проведена до бічної сторони $AC$.
1) За умовою $AH = 5$ см, $HC = 8$ см. Тоді $AC = 5 + 8 = 13$ см.
2) Оскільки трикутник рівнобедрений, бічна сторона $AB = AC = 13$ см.
3) У прямокутному $\triangle ABH$ за теоремою Піфагора знайдемо висоту $BH$:
$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = 12$ (см).
4) Площа трикутника $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$:
$S = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 12 = 78$ (см²).
Відповідь: 78 см².
4. Нехай сторони паралелограма $a = 15$ см і $b = 5$ см, а відповідні висоти $h_a$ та $h_b$.
1) Площа $S = a \cdot h_a = b \cdot h_b$. Маємо: $15h_a = 5h_b \implies h_b = 3h_a$.
2) Сума висот $h_a + h_b = 16$.
3) Складемо рівняння: $h_a + 3h_a = 16 \implies 4h_a = 16 \implies h_a = 4$ см.
4) Тоді $h_b = 3 \cdot 4 = 12$ см.
5) Площа $S = 15 \cdot 4 = 60$ (см²).
Відповідь: 60 см².
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.