ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №10 (Варіант 4)
ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу».
Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).
Умова
1. Сторона трикутника дорівнює 4 см, а висота, що проведена до неї, — 7 см. Знайдіть площу трикутника.
А. 28 см²; Б. 7 см²; В. 56 см²; Г. 14 см².
2. $ABCD$ — прямокутна трапеція, $AN$ — її висота, $BC = 8$ см, $NC = 5$ см, $DN = 3$ см. Знайдіть площу трапеції.
3. У рівнобедреному трикутнику висота, проведена до бічної сторони, ділить її на відрізки 6 см і 9 см, починаючи від кута при основі. Знайдіть площу трикутника.
4. Сума двох не рівних між собою висот паралелограма дорівнює 12 см, а його сторони дорівнюють 5 см і 10 см. Знайдіть площу паралелограма.
Короткий розв'язок
1. $S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 7 = 14$ см² $\implies$ Г.
2. $BC=8, CD=5+3=8, AB=NC=5$. $S = \frac{5+8}{2} \cdot 8 = 52$ см².
3. $AC=15, AB=15, AH=6$. $BH = \sqrt{15^2 - 9^2} = 12$. $S = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 12 = 90$ см².
4. $10h_1 = 5h_2, h_1+h_2=12 \implies h_2=2h_1 \implies 3h_1=12 \implies h_1=4, h_2=8$. $S = 10 \cdot 4 = 40$ см².
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Для розв'язання задач використовуємо формули площі многокутників та теорему Піфагора для обчислення невідомих висот.
1. Площа трикутника дорівнює половині добутку сторони на висоту, проведену до неї:
$S = \frac{1}{2}ah = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 7 = 14$ (см²).
Відповідь: Г.
2. На малюнку зображено прямокутну трапецію з прямокутною стороною $BC$, яка є висотою ($BC = 8$ см).
1) Основа $CD = DN + NC = 3 + 5 = 8$ см.
2) Оскільки $AN \perp CD$ і $BC \perp CD$, то $ABCN$ — прямокутник. Отже, основа $AB = NC = 5$ см.
3) Площа трапеції $S = \frac{AB + CD}{2} \cdot BC$:
$S = \frac{5 + 8}{2} \cdot 8 = 13 \cdot 4 = 52$ (см²).
Відповідь: 52 см².
3. Нехай $\triangle ABC$ — рівнобедрений з бічними сторонами $AB = AC$. Висота $BH$ проведена до бічної сторони $AC$.
1) За умовою висота ділить сторону $AC$ на відрізки $AH = 6$ см (від вершини при основі) та $HC = 9$ см. Тоді $AC = 6 + 9 = 15$ см.
2) Оскільки трикутник рівнобедрений, то $AB = AC = 15$ см.
3) У прямокутному $\triangle BHC$ ($\angle H = 90^\circ$) за теоремою Піфагора знайдемо висоту $BH$:
$BH = \sqrt{BC^2 - HC^2}$? Ні, використаємо $\triangle ABH$:
$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{15^2 - 6^2}$? Ні, в умові сказано "від кута при основі" — це $A$ або $C$. Якщо від $C$, то $CH=6, HA=9$.
Тоді $BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12$ (см).
4) Площа трикутника: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 12 = 90$ (см²).
Відповідь: 90 см².
4. Нехай сторони паралелограма $a = 10$ см і $b = 5$ см, а відповідні висоти — $h_a$ та $h_b$.
1) Площа $S = a \cdot h_a = b \cdot h_b \implies 10 \cdot h_a = 5 \cdot h_b \implies h_b = 2h_a$.
2) За умовою сума висот $h_a + h_b = 12$.
3) Підставимо: $h_a + 2h_a = 12 \implies 3h_a = 12 \implies h_a = 4$ см.
4) Тоді $h_b = 2 \cdot 4 = 8$ см.
5) Площа паралелограма $S = 10 \cdot 4 = 40$ (см²).
Відповідь: 40 см².
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.