ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №10 (Варіант 2)
ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу».
Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).
Умова
1. Висота трикутника дорівнює 8 см, а сторона, до якої вона проведена, — 3 см. Знайдіть площу трикутника.
А. 12 см²; Б. 6 см²; В. 48 см²; Г. 24 см².
2. $ABCD$ — прямокутна трапеція, $BM$ — її висота, $DM = 3$ см, $MC = 7$ см, $AD = 6$ см. Знайдіть площу трапеції.
3. У рівнобедреному трикутнику висота, проведена до бічної сторони, ділить її на відрізки 2 см і 8 см, починаючи від вершини кута при основі. Знайдіть площу трикутника.
4. Дві висоти паралелограма дорівнюють 3 см і 9 см, а сума двох не рівних між собою сторін паралелограма — 16 см. Знайдіть площу паралелограма.
Короткий розв'язок
1. $S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 8 = 12$ см² $\implies$ А.
2. $AB=DM=3, DC=3+7=10, h=AD=6$. $S = \frac{3+10}{2} \cdot 6 = 39$ см².
3. $AC=10, AH=8, AB=10$. $h = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6$. $S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 = 30$ см².
4. $3a = 9b, a+b=16 \implies a=3b \implies 4b=16 \implies b=4, a=12$. $S = 12 \cdot 3 = 36$ см².
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Для знаходження площ многокутників застосовуємо відповідні формули для трикутника, трапеції та паралелограма, а також теорему Піфагора.
1. Площа трикутника дорівнює половині добутку його сторони на висоту, проведену до неї:
$S = \frac{1}{2}ah = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 8 = 12$ (см²).
Відповідь: А.
2. У прямокутній трапеції $ABCD$ ($\angle D = 90^\circ$) висота $AD$ дорівнює 6 см.
1) Оскільки $BM$ — висота, то $ABMD$ — прямокутник. Отже, верхня основа $AB = DM = 3$ см.
2) Нижня основа $DC = DM + MC = 3 + 7 = 10$ см.
3) Площа трапеції $S = \frac{AB + DC}{2} \cdot AD$:
$S = \frac{3 + 10}{2} \cdot 6 = 13 \cdot 3 = 39$ (см²).
Відповідь: 39 см².
3. Нехай $\triangle ABC$ — рівнобедрений з бічними сторонами $AB = AC$. Висота $BH$ проведена до сторони $AC$.
1) За умовою висота ділить сторону $AC$ на відрізки $CH = 2$ см (від вершини при основі) та $AH = 8$ см. Тоді $AC = 2 + 8 = 10$ см.
2) Оскільки трикутник рівнобедрений, то бічна сторона $AB = AC = 10$ см.
3) У прямокутному $\triangle ABH$ знайдемо висоту $BH$ за теоремою Піфагора:
$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = 6$ (см).
4) Площа трикутника $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$:
$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 = 30$ (см²).
Відповідь: 30 см².
4. Нехай сторони паралелограма дорівнюють $a$ і $b$, а висоти — $h_a = 3$ см і $h_b = 9$ см.
1) Площа $S = a \cdot h_a = b \cdot h_b$. Тоді $3a = 9b \implies a = 3b$.
2) За умовою сума сторін $a + b = 16$.
3) Складемо рівняння: $3b + b = 16 \implies 4b = 16 \implies b = 4$ см.
4) Сторона $a = 3 \cdot 4 = 12$ см.
5) Площа паралелограма $S = 12 \cdot 3 = 36$ (см²).
Відповідь: 36 см².
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.