ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №10 (Варіант 3)
ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу».
Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).
Умова
1. Знайдіть площу трикутника, висота якого дорівнює 7 см, а сторона, до якої вона проведена, — 6 см.
А. 10,5 см²; Б. 21 см²; В. 42 см²; Г. 84 см².
2. $ABCD$ — прямокутна трапеція, $BL$ — її висота, $AL = 5$ см, $LD = 4$ см, $CD = 6$ см. Знайдіть площу трапеції.
3. У рівнобедреному трикутнику висота, проведена до бічної сторони, ділить її на відрізки 15 см і 2 см, починаючи від вершини кута між бічними сторонами. Знайдіть площу трикутника.
4. Сума двох не рівних між собою сторін паралелограма дорівнює 18 см, а його висоти дорівнюють 4 см і 8 см. Знайдіть площу паралелограма.
Короткий розв'язок
1. $S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 7 = 21$ см² $\implies$ Б.
2. $BL = CD = 6, BC = LD = 4, AD = 5+4 = 9$. $S = \frac{4+9}{2} \cdot 6 = 39$ см².
3. $AC = 15+2 = 17, AB = AC = 17, AH = 15$. $h = \sqrt{17^2 - 15^2} = 8$. $S = \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot 8 = 68$ см².
4. $4a = 8b, a+b=18 \implies a=2b \implies 3b=18 \implies b=6, a=12$. $S = 6 \cdot 8 = 48$ см².
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Використовуємо формули площі многокутників: трикутника ($S = \frac{1}{2}ah$), трапеції ($S = \frac{a+b}{2}h$) та паралелограма ($S = ah$). Також застосовуємо теорему Піфагора для знаходження невідомих елементів.
1. Площа трикутника дорівнює половині добутку його сторони на висоту, проведену до неї:
$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 7 = 3 \cdot 7 = 21$ (см²).
Відповідь: Б.
2. У прямокутній трапеції $ABCD$ з прямими кутами при вершинах $C$ і $D$, висота $BL$ утворює прямокутник $BLDC$.
1) $BL = CD = 6$ см.
2) Верхня основа $BC = LD = 4$ см.
3) Нижня основа $AD = AL + LD = 5 + 4 = 9$ см.
4) Площа трапеції: $S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BL = \frac{4 + 9}{2} \cdot 6 = 13 \cdot 3 = 39$ (см²).
Відповідь: 39 см².
3. Нехай $\triangle ABC$ — рівнобедрений з бічними сторонами $AB = AC$. Висота $BH$ проведена до сторони $AC$.
1) За умовою висота ділить сторону $AC$ на відрізки $AH = 15$ см (від вершини кута між сторонами) та $HC = 2$ см. Тоді $AC = 15 + 2 = 17$ см.
2) Оскільки трикутник рівнобедрений, то $AB = AC = 17$ см.
3) У прямокутному $\triangle ABH$ за теоремою Піфагора знайдемо висоту $BH$:
$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = 8$ (см).
4) Площа трикутника: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot 8 = 17 \cdot 4 = 68$ (см²).
Відповідь: 68 см².
4. Нехай сторони паралелограма дорівнюють $a$ і $b$, а висоти — $h_a = 4$ см і $h_b = 8$ см.
1) Площа $S = a \cdot h_a = b \cdot h_b \implies 4a = 8b \implies a = 2b$.
2) За умовою сума сторін $a + b = 18$ см.
3) Складемо рівняння: $2b + b = 18 \implies 3b = 18 \implies b = 6$ см.
4) Сторона $a = 2 \cdot 6 = 12$ см.
5) Площа паралелограма $S = 6 \cdot 8 = 48$ (см²).
Відповідь: 48 см².
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.