ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №2 (Варіант 1)
ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу ».
Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).
Умова
1. Сторони прямокутника дорівнюють 5 см і 7 см. Знайдіть його периметр.
А. 12 см; Б. 18 см; В. 24 см; Г. 48 см.
2. ABCD – ромб, $\angle ABD = 65°$. Знайдіть $\angle BCD$.
3. Знайдіть кут між меншою стороною і діагоналлю прямокутника, якщо він на 12° менший від кута між діагоналями, який лежить проти меншої сторони.
4. У рівнобедрений прямокутний трикутник ABC вписано квадрат CMKL так, що прямий кут у трикутника і квадрата спільний, $K \in AB$. Периметр квадрата дорівнює 24 см. Знайдіть довжину катета BC.
Короткий розв'язок
1. $P = 2(5+7) = 24$ (см) $\implies$ В
2. $\angle ABC = 2 \cdot 65° = 130°$; $\angle BCD = 180° - 130° = 50°$
3. $x + (x+12) = 90° \implies 2x = 78° \implies x = 39°$
4. $a_{кв} = 24/4 = 6$ (см); $BC = CM + MB = 6 + 6 = 12$ (см)
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Для розв'язання цих завдань ми застосуємо властивості прямокутника, ромба та квадрата.
1. Знайдіть периметр прямокутника.
Периметр прямокутника обчислюється за формулою $P = 2(a+b)$, де $a$ і $b$ – його сторони.
$P = 2(5+7) = 2 \cdot 12 = 24$ (см).
Відповідь: В.
2. Знайдіть кут ромба.
Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів. Отже, $\angle ABC = 2 \cdot \angle ABD = 2 \cdot 65° = 130°$.
Сума сусідніх кутів ромба дорівнює 180°. Тоді $\angle BCD = 180° - \angle ABC = 180° - 130° = 50°$.
Відповідь: 50°.
3. Знайдіть кут між меншою стороною і діагоналлю.
Нехай кут між меншою стороною і діагоналлю дорівнює $x$. Тоді кут між більшою стороною і діагоналлю дорівнює $x+12°$. Оскільки діагональ прямокутника утворює з його сторонами прямий кут, сума цих двох кутів дорівнює 90°.
$x + (x+12°) = 90°$
$2x = 90° - 12°$
$2x = 78°$
$x = 39°$
Відповідь: 39°.
4. Знайдіть довжину катета.
Периметр квадрата $P = 4a$. Знайдемо сторону квадрата: $a = 24 / 4 = 6$ (см). Отже, $CM = CL = LK = MK = 6$ см.
Оскільки $CMKL$ – квадрат, то $MK \parallel BC$. Трикутник $ABC$ – рівнобедрений прямокутний, тому $\angle A = \angle B = 45°$.
Розглянемо трикутник $AMK$. $\angle AMK = 90°$ (оскільки $MK \parallel BC$ і $AC \perp BC$). $\angle A = 45°$, отже, $\triangle AMK$ – рівнобедрений прямокутний. Звідси $AM=MK=6$ см.
Катет $AC$ трикутника $ABC$ складається з відрізків $AM$ і $MC$.
$AC = AM + MC = 6 + 6 = 12$ (см).
Оскільки $\triangle ABC$ рівнобедрений, то $BC = AC = 12$ см.
Відповідь: 12 см.
