ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №2 (Варіант 2)
ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу ».
Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).
Умова
1. Знайдіть периметр прямокутника, сторони якого дорівнюють 6 см і 4 см.
А. 40 см; Б. 10 см; В. 15 см; Г. 20 см.
2. ABCD – ромб, $\angle ABC = 40°$. Знайдіть $\angle ACD$.
3. Знайдіть кут між більшою стороною і діагоналлю прямокутника, якщо він на 60° менший від кута між діагоналями, який лежить проти більшої сторони.
4. У рівнобедрений прямокутний трикутник ABC вписано квадрат KLMN так, що $N \in AC$, $M \in BC$, $K \in AB$, $L \in AB$, $AB = 12$ см. Знайдіть периметр квадрата.
Короткий розв'язок
1. $P = 2(6+4) = 20$ (см) $\implies$ Г
2. $\angle BCD = 180° - 40° = 140°$; $\angle ACD = 140° / 2 = 70°$
3. $180° - 2x = x + 60° \implies 3x = 120° \implies x = 40°$
4. $x = (12 \cdot 6)/(12+6) = 72/18 = 4$ (см); $P = 4 \cdot 4 = 16$ (см)
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Для розв'язання цих завдань ми застосуємо властивості прямокутника та ромба.
1. Знайдіть периметр прямокутника.
Периметр прямокутника обчислюється за формулою $P = 2(a+b)$, де $a$ і $b$ – його сторони.
$P = 2(6+4) = 2 \cdot 10 = 20$ (см).
Відповідь: Г.
2. Знайдіть кут ромба.
Сума сусідніх кутів ромба дорівнює 180°. Отже, $\angle BCD = 180° - \angle ABC = 180° - 40° = 140°$.
Діагональ ромба є бісектрисою його кута. Тоді $\angle ACD = \angle BCD / 2 = 140° / 2 = 70°$.
Відповідь: 70°.
3. Знайдіть кут між більшою стороною і діагоналлю.
Нехай $ABCD$ – прямокутник, $O$ – точка перетину діагоналей. Нехай $BC$ – більша сторона, тоді кут між нею і діагоналлю $AC$ буде $\angle BCA$. Позначимо його як $x$.
Трикутник $BOC$ – рівнобедрений ($BO=OC$). Кут $\angle BOC$ – це кут між діагоналями, що лежить проти більшої сторони. За умовою, $\angle BCA = \angle BOC - 60° \implies x = \angle BOC - 60°$.
У $\triangle BOC$: $\angle OBC = \angle OCB = x$. Тоді $\angle BOC = 180° - 2x$.
Підставимо це в умову: $x = (180° - 2x) - 60°$.
$x = 120° - 2x \implies 3x = 120° \implies x = 40°$.
Відповідь: 40°.
4. Знайдіть периметр квадрата.
Нехай сторона квадрата $KLMN$ дорівнює $x$. Висота $CD$, проведена з вершини прямого кута $\triangle ABC$ до гіпотенузи $AB$, дорівнює половині гіпотенузи, тобто $CD = 12 / 2 = 6$ см.
Трикутники $ABC$ і $NMC$ подібні. Висота $\triangle NMC$ з вершини $C$ на сторону $NM$ дорівнює $CD - x = 6 - x$.
З подібності трикутників маємо відношення висот до сторін: $\frac{CD-x}{CD} = \frac{NM}{AB}$.
$\frac{6-x}{6} = \frac{x}{12}$
$12(6-x) = 6x \implies 72 - 12x = 6x \implies 18x = 72 \implies x = 4$ (см).
Периметр квадрата: $P = 4x = 4 \cdot 4 = 16$ (см).
Відповідь: 16 см.
