ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №2 (Варіант 3)
ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу ».
Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).
Умова
1. Сторони прямокутника дорівнюють 9 см і 7 см. Знайдіть його периметр.
А. 32 см; Б. 16 см; В. 64 см; Г. 24 см.
2. ABCD – ромб, $\angle BDC = 20°$. Знайдіть $\angle BAD$.
3. Знайдіть кут між меншою стороною і діагоналлю прямокутника, якщо він на 6° більший за кут між діагоналями, який лежить проти меншої сторони.
4. У рівнобедрений прямокутний трикутник ABC вписано квадрат DFMN, $D \in AC$, $N \in BC$, $F \in AB$, $M \in AB$. Периметр квадрата дорівнює 20 см. Знайдіть AB.
Короткий розв'язок
1. $P = 2(9+7) = 32$ (см) $\implies$ А
2. $\angle BCD = 180° - 2 \cdot 20° = 140°$; $\angle BAD = \angle BCD = 140°$
3. $2x + (x-6°) = 180° \implies 3x = 186° \implies x = 62°$
4. $a = 20/4=5$ (см); $AB = 3a = 3 \cdot 5 = 15$ (см)
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Для розв'язання цих завдань ми застосуємо властивості прямокутника та ромба.
1. Знайдіть периметр прямокутника.
Периметр прямокутника обчислюється за формулою $P = 2(a+b)$, де $a$ і $b$ – його сторони.
$P = 2(9+7) = 2 \cdot 16 = 32$ (см).
Відповідь: А.
2. Знайдіть кут ромба.
Розглянемо трикутник $BCD$. Оскільки $BC = CD$ (сторони ромба), то він рівнобедрений. Отже, $\angle DBC = \angle BDC = 20°$.
Сума кутів трикутника дорівнює 180°, тому $\angle BCD = 180° - (20° + 20°) = 140°$.
Протилежні кути ромба рівні, отже $\angle BAD = \angle BCD = 140°$.
Відповідь: 140°.
3. Знайдіть кут між меншою стороною і діагоналлю.
Нехай $ABCD$ – прямокутник, $O$ – точка перетину діагоналей, $AB$ – менша сторона. Шуканий кут – це $\angle BAO$. Позначимо його як $x$.
Трикутник $AOB$ – рівнобедрений ($AO=BO$). Кут $\angle AOB$ – це кут між діагоналями, що лежить проти меншої сторони. За умовою, $\angle BAO$ на 6° більший за $\angle AOB$, тобто $x = \angle AOB + 6°$.
У $\triangle AOB$: $\angle OAB = \angle OBA = x$. Тоді $\angle AOB = 180° - 2x$.
Підставимо це в умову: $x = (180° - 2x) + 6°$.
$x = 186° - 2x \implies 3x = 186° \implies x = 62°$.
Відповідь: 62°.
4. Знайдіть довжину гіпотенузи.
Нехай сторона квадрата $DFMN$ дорівнює $a$. З периметра: $a = 20 / 4 = 5$ (см).
Нехай висота $CH$, проведена до гіпотенузи $AB$, дорівнює $h$. Оскільки $\triangle ABC$ рівнобедрений прямокутний, $h = AB/2$.
Трикутник $DCN$ подібний до трикутника $ACB$. Висота $\triangle DCN$ з вершини $C$ дорівнює $h-a$. Сторона $DN = a$.
З подібності трикутників: $\frac{DN}{AB} = \frac{h-a}{h}$.
$\frac{a}{AB} = \frac{AB/2 - a}{AB/2}$
$a \cdot (AB/2) = AB \cdot (AB/2 - a)$
$a \cdot AB / 2 = AB^2 / 2 - a \cdot AB$
Помножимо на 2: $a \cdot AB = AB^2 - 2a \cdot AB$.
$AB^2 - 3a \cdot AB = 0 \implies AB(AB - 3a) = 0$.
Оскільки $AB \neq 0$, то $AB = 3a$.
$AB = 3 \cdot 5 = 15$ (см).
Відповідь: 15 см.
