ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №2 (Варіант 4)
ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу ».
Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).
Умова
1. Знайдіть периметр прямокутника, сторони якого дорівнюють 8 см і 6 см.
А. 14 см; Б. 28 см; В. 56 см; Г. 21 см.
2. ABCD – ромб, $\angle ABC = 130°$. Знайдіть $\angle ACD$.
3. Знайдіть кут між діагоналями прямокутника, який лежить проти більшої сторони, якщо він на 72° більший за кут між більшою стороною і діагоналлю.
4. У рівнобедрений прямокутний трикутник ABC, катет якого дорівнює 10 см, вписано квадрат CDFL так, що прямий кут у трикутника і квадрата спільний, $F \in AB$. Знайдіть периметр квадрата.
Короткий розв'язок
1. $P = 2(8+6) = 28$ (см) $\implies$ Б
2. $\angle BCD = 180° - 130° = 50°$; $\angle ACD = 50° / 2 = 25°$
3. $2x + (x+72°) = 180° \implies 3x = 108° \implies x = 36°$. Кут: $36°+72° = 108°$.
4. $a = 10/2 = 5$ (см); $P = 4 \cdot 5 = 20$ (см)
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Для розв'язання цих завдань ми застосуємо властивості прямокутника, ромба та квадрата.
1. Знайдіть периметр прямокутника.
Периметр прямокутника обчислюється за формулою $P = 2(a+b)$, де $a$ і $b$ – його сторони.
$P = 2(8+6) = 2 \cdot 14 = 28$ (см).
Відповідь: Б.
2. Знайдіть кут ромба.
Сума сусідніх кутів ромба дорівнює 180°. Отже, $\angle BCD = 180° - \angle ABC = 180° - 130° = 50°$.
Діагональ ромба є бісектрисою його кута, тому $\angle ACD = \angle BCD / 2 = 50° / 2 = 25°$.
Відповідь: 25°.
3. Знайдіть кут між діагоналями.
Нехай $O$ – точка перетину діагоналей прямокутника, $BC$ – більша сторона. Нехай кут між більшою стороною $BC$ і діагоналлю $AC$ дорівнює $x$ ($\angle OCB = x$).
Кут між діагоналями, що лежить проти більшої сторони, – це $\angle BOC$. За умовою, $\angle BOC = x + 72°$.
Трикутник $BOC$ рівнобедрений ($BO=OC$), тому $\angle OBC = \angle OCB = x$. Сума кутів трикутника дорівнює 180°, отже $\angle BOC = 180° - 2x$.
Прирівняємо вирази для $\angle BOC$: $180° - 2x = x + 72°$.
$180° - 72° = 3x \implies 3x = 108° \implies x = 36°$.
Шуканий кут $\angle BOC = 36° + 72° = 108°$.
Відповідь: 108°.
4. Знайдіть периметр квадрата.
Нехай сторона квадрата $CDFL$ дорівнює $a$. Тоді $CD=CL=a$.
Трикутник $ABC$ – рівнобедрений прямокутний, тому $\angle A = \angle B = 45°$. Катети $AC=BC=10$ см.
Розглянемо $\triangle ADF$. Оскільки $DF \parallel BC$, то $\angle ADF = \angle C = 90°$. Кут $\angle A = 45°$, отже, $\triangle ADF$ – рівнобедрений прямокутний, і $AD = DF = a$.
Катет $AC$ складається з відрізків $AD$ і $DC$.
$AC = AD + DC \implies 10 = a + a \implies 2a = 10 \implies a = 5$ (см).
Периметр квадрата: $P = 4a = 4 \cdot 5 = 20$ (см).
Відповідь: 20 см.
