ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №3 (Варіант 1)
ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу ».
Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).
Умова
1. Два кути трапеції дорівнюють 40° і 130°. Знайдіть два інших її кути.
А. 50° і 40°; Б. 130° і 40°; В. 140° і 50°; Г. 150° і 40°.
2. Чи можна вписати коло в чотирикутник, сторони якого в порядку слідування відносяться як 7 : 4 : 3 : 6?
3. Знайдіть кути A і C чотирикутника ABCD, вписаного у коло, якщо кут A на 20° більший за кут C.
4. У рівнобічній трапеції ABCD AB — більша основа, AB = BC, ∠CAD = 36°. Знайдіть гострий кут трапеції.
Короткий розв'язок
1. $180° - 40° = 140°$; $180° - 130° = 50°$. Кути: 140°, 50° $\implies$ В.
2. $7x+3x=10x$; $4x+6x=10x$. Оскільки $10x=10x$, то вписати коло можна.
3. $\angle A + \angle C = 180°$; $\angle A = \angle C + 20° \implies 2\angle C + 20° = 180° \implies \angle C = 80°, \angle A = 100°$.
4. BC || AD $\implies \angle BCA = \angle CAD = 36°$. $\triangle ABC$ рівнобедрений ($AB=BC$) $\implies \angle BAC = \angle BCA = 36°$. $\angle A = 36°+36°=72°$.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Використовуємо властивості трапеції, а також властивості вписаних та описаних чотирикутників.
1. Сума кутів, прилеглих до бічної сторони трапеції, дорівнює 180°. Задані кути 40° і 130° не можуть бути прилеглими до однієї бічної сторони (бо їх сума не 180°). Отже, вони прилеглі до однієї основи. Знайдемо два інших кути:
Перший кут: $180° - 40° = 140°$.
Другий кут: $180° - 130° = 50°$.
Відповідь: В.
2. Коло можна вписати в чотирикутник тоді й тільки тоді, коли суми його протилежних сторін рівні. Нехай сторони чотирикутника дорівнюють $7x, 4x, 3x, 6x$.
Сума першої і третьої сторін: $7x + 3x = 10x$.
Сума другої і четвертої сторін: $4x + 6x = 10x$.
Оскільки суми протилежних сторін рівні ($10x=10x$), то в цей чотирикутник можна вписати коло.
Відповідь: Так.
3. Сума протилежних кутів вписаного чотирикутника дорівнює 180°. Отже, $\angle A + \angle C = 180°$. За умовою $\angle A = \angle C + 20°$.
Підставимо друге рівняння в перше:
$(\angle C + 20°) + \angle C = 180°$
$2\angle C = 160° \implies \angle C = 80°$.
Тоді $\angle A = 80° + 20° = 100°$.
Відповідь: $\angle A = 100°, \angle C = 80°$.
4. Оскільки ABCD — трапеція, то її основи паралельні. Нехай AB та CD — основи. Тоді BC || AD. Пряма AC є січною. Кути $\angle BCA$ і $\angle CAD$ є внутрішніми різносторонніми, отже, вони рівні.
$\angle BCA = \angle CAD = 36°$.
Розглянемо трикутник ABC. За умовою, $AB=BC$, отже, він є рівнобедреним з основою AC. Кути при основі рівнобедреного трикутника рівні:
$\angle BAC = \angle BCA = 36°$.
Гострий кут трапеції — це кут $\angle DAB$. Він складається з двох кутів:
$\angle DAB = \angle CAD + \angle CAB = 36° + 36° = 72°$.
Відповідь: 72°.
