ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №3 (Варіант 2)
ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу ».
Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).
Умова
1. Два кути трапеції дорівнюють 50° і 120°. Знайдіть два інших її кути.
А. 130° і 60°; Б. 40° і 30°; В. 120° і 50°; Г. 140° і 60°.
2. Чи можна вписати коло в чотирикутник, сторони якого в порядку слідування відносяться як 4 : 7 : 6 : 2?
3. Знайдіть кути K і M чотирикутника KLMN, вписаного у коло, якщо кут K на 40° менший від кута M.
4. ABCD – рівнобічна трапеція, BC – її менша основа, BC = CD, ∠ACD = 54°. Знайдіть тупий кут трапеції.
Короткий розв'язок
1. $180° - 50° = 130°$; $180° - 120° = 60°$. Кути: 130°, 60° $\implies$ А.
2. $4x+6x=10x$; $7x+2x=9x$. $10x \neq 9x \implies$ вписати коло не можна.
3. $\angle K + \angle M = 180°$; $\angle K = \angle M - 40° \implies 2\angle M - 40° = 180° \implies \angle M = 110°, \angle K = 70°$.
4. AB=BC=CD. $\triangle ABC$ рівнобедрений $\implies \angle BAC = \angle BCA$. AD || BC $\implies \angle CAD = \angle BCA$. $\angle A = 2\angle BCA$. $\angle BCD = \angle BCA + 54°$. $\angle ABC = \angle BCD$. $180°-2\angle BAC = \angle BCD \implies 180°-2\angle BCA = \angle BCA+54° \implies 3\angle BCA = 126° \implies \angle BCA = 42°$. Тупий кут = $42°+54°=96°$.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Використовуємо властивості трапеції, а також властивості вписаних та описаних чотирикутників.
1. Сума кутів, прилеглих до бічної сторони трапеції, дорівнює 180°. Задані кути 50° і 120° не можуть бути прилеглими до однієї бічної сторони. Отже, вони прилеглі до однієї основи. Знайдемо два інших кути:
Перший кут: $180° - 50° = 130°$.
Другий кут: $180° - 120° = 60°$.
Відповідь: А.
2. Коло можна вписати в чотирикутник, якщо суми його протилежних сторін рівні. Нехай сторони чотирикутника дорівнюють $4x, 7x, 6x, 2x$.
Сума першої і третьої сторін: $4x + 6x = 10x$.
Сума другої і четвертої сторін: $7x + 2x = 9x$.
Оскільки $10x \neq 9x$, вписати коло в такий чотирикутник не можна.
Відповідь: Ні.
3. Сума протилежних кутів вписаного чотирикутника дорівнює 180°. Отже, $\angle K + \angle M = 180°$. За умовою $\angle K = \angle M - 40°$.
Підставимо друге рівняння в перше:
$(\angle M - 40°) + \angle M = 180°$
$2\angle M = 220° \implies \angle M = 110°$.
Тоді $\angle K = 110° - 40° = 70°$.
Відповідь: $\angle K = 70°, \angle M = 110°$.
4. Оскільки трапеція ABCD рівнобічна, то її бічні сторони рівні: $AB = CD$. За умовою $BC=CD$, отже, $AB=BC=CD$.
Розглянемо $\triangle ABC$. Він рівнобедрений, оскільки $AB=BC$. Кути при основі AC рівні: $\angle BAC = \angle BCA$.
Оскільки AD || BC, то $\angle CAD$ і $\angle BCA$ є внутрішніми різносторонніми при січній AC, тому $\angle BCA = \angle CAD$.
Звідси $\angle BAC = \angle BCA = \angle CAD$. Нехай $\angle BCA = \alpha$. Тоді гострий кут трапеції $\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 2\alpha$.
Тупий кут трапеції $\angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = \alpha + 54°$.
У рівнобічній трапеції сума кутів при одній основі дорівнює 180°, або, що те ж саме, сума протилежних кутів дорівнює 180° (бо вона вписана в коло). Однак це не так для загальної рівнобічної трапеції. Сума кутів при бічній стороні дорівнює 180°.
$\angle BAD + \angle ABC = 180°$. Також тупі кути рівні: $\angle ABC = \angle BCD$.
Отже, $2\alpha + (\alpha+54^{\circ}) = 180^{\circ}$. Це невірно. Сума кутів при бічній стороні, а не при основі.
$\angle DAB + \angle ABC = 180^{\circ}$. Отже, $2\alpha + \angle ABC = 180 \implies \angle ABC = 180 - 2\alpha$.
Оскільки $\angle ABC = \angle BCD$, то $180 - 2\alpha = \alpha + 54$.
$126 = 3\alpha \implies \alpha = 42°$.
Тупий кут трапеції: $\angle BCD = \alpha + 54° = 42° + 54° = 96°$.
Відповідь: 96°.
