ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №3 (Варіант 4)
ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу ».
Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).
Умова
1. Два кути трапеції дорівнюють 150° і 70°. Знайдіть два інших її кути.
А. 60° і 20°; Б. 30° і 100°; В. 70° і 150°; Г. 30° і 110°.
2. Чи можна вписати коло в чотирикутник, сторони якого в порядку слідування відносяться як 3 : 8 : 7 : 2?
3. Знайдіть кути L і N чотирикутника KLMN, вписаного у коло, якщо кут L на 80° більший за кут N.
4. У рівнобічній трапеції ABCD AD — більша основа, AD = AB, ∠BAC = 27°. Знайдіть тупий кут трапеції.
Короткий розв'язок
1. $180° - 150° = 30°$; $180° - 70° = 110°$. Кути: 30°, 110° $\implies$ Г.
2. $3x+7x=10x$; $8x+2x=10x$. $10x = 10x \implies$ вписати коло можна.
3. $\angle L + \angle N = 180°$; $\angle L = \angle N + 80° \implies 2\angle N + 80° = 180° \implies \angle N = 50°, \angle L = 130°$.
4. Трапеція рівнобічна, $AB=CD$. За умовою $AD=AB \implies AD=AB=CD$. $\triangle ACD$ рівнобедрений $\implies \angle CAD = \angle ACD = x$. $BC||AD \implies \angle BCA = \angle CAD = x$. $\angle BCD = \angle BCA+\angle ACD = 2x$. $\angle BAD = \angle BAC+\angle CAD = 27+x$. В рівнобічній трапеції $\angle ADC=\angle BAD$. В $\triangle ACD: \angle ADC=180-2x$. $27+x=180-2x \implies 3x=153 \implies x=51$. Тупий кут $\angle BCD=2x=2 \cdot 51 = 102°$.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Використовуємо властивості трапеції, а також властивості вписаних та описаних чотирикутників.
1. Сума кутів, прилеглих до бічної сторони трапеції, дорівнює 180°. Задані кути 150° і 70° не можуть бути прилеглими до однієї бічної сторони. Отже, вони прилеглі до однієї основи. Знайдемо два інших кути:
Перший кут: $180° - 150° = 30°$.
Другий кут: $180° - 70° = 110°$.
Відповідь: Г.
2. Коло можна вписати в чотирикутник тоді й тільки тоді, коли суми його протилежних сторін рівні. Нехай сторони чотирикутника дорівнюють $3x, 8x, 7x, 2x$.
Сума першої і третьої сторін: $3x + 7x = 10x$.
Сума другої і четвертої сторін: $8x + 2x = 10x$.
Оскільки суми протилежних сторін рівні ($10x=10x$), то в цей чотирикутник можна вписати коло.
Відповідь: Так.
3. Сума протилежних кутів вписаного чотирикутника дорівнює 180°. Отже, $\angle L + \angle N = 180°$. За умовою $\angle L = \angle N + 80°$.
Підставимо друге рівняння в перше:
$(\angle N + 80°) + \angle N = 180°$
$2\angle N = 100° \implies \angle N = 50°$.
Тоді $\angle L = 50° + 80° = 130°$.
Відповідь: $\angle L = 130°, \angle N = 50°$.
4. Оскільки трапеція ABCD рівнобічна, її бічні сторони рівні: $AB = CD$. За умовою також $AD = AB$. Отже, маємо рівність трьох сторін: $AD = AB = CD$.
Розглянемо $\triangle ACD$. Оскільки $AD = CD$, він є рівнобедреним з основою AC. Тому кути при основі рівні: $\angle CAD = \angle ACD$. Позначимо їх як $x$.
Основи трапеції паралельні ($BC || AD$). AC — січна. Внутрішні різносторонні кути $\angle BCA$ і $\angle CAD$ рівні. Отже, $\angle BCA = \angle CAD = x$.
Знайдемо кути трапеції. Гострий кут $\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 27° + x$. Тупий кут $\angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = x + x = 2x$.
У рівнобічній трапеції кути при одній основі рівні, отже $\angle CDA = \angle BAD = 27°+x$.
Розглянемо суму кутів у $\triangle ACD$:
$\angle CAD + \angle ACD + \angle CDA = 180°$
$x + x + (27°+x) = 180°$
$3x + 27° = 180°$
$3x = 153° \implies x = 51°$.
Нас просять знайти тупий кут трапеції. Це $\angle BCD$ (або $\angle ABC$).
$\angle BCD = 2x = 2 \cdot 51° = 102°$.
Відповідь: 102°.
