ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №3 (Варіант 3)
ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу ».
Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).
Умова
1. Два кути трапеції дорівнюють 140° і 30°. Знайдіть два інших її кути.
А. 50° і 60°; Б. 40° і 150°; В. 30° і 140°; Г. 50° і 150°.
2. Чи можна вписати коло в чотирикутник, сторони якого в порядку слідування відносяться як 8 : 5 : 2 : 6?
3. Знайдіть кути B і D чотирикутника ABCD, вписаного у коло, якщо кут B на 60° менший від кута D.
4. ABCD – рівнобічна трапеція, CD – її менша основа, CD = AD, ∠ACB = 63°. Знайдіть гострий кут трапеції.
Короткий розв'язок
1. $180° - 140° = 40°$; $180° - 30° = 150°$. Кути: 40°, 150° $\implies$ Б.
2. $8x+2x=10x$; $5x+6x=11x$. $10x \neq 11x \implies$ вписати коло не можна.
3. $\angle B + \angle D = 180°$; $\angle B = \angle D - 60° \implies 2\angle D - 60° = 180° \implies \angle D = 120°, \angle B = 60°$.
4. AD=BC (рівноб.). CD=AD $\implies$ CD=BC. AB || DC. $\angle CAB = \angle ACD$. $\triangle ADC$ рівнобедр. $\implies \angle DAC = \angle DCA$. $\angle DAB = 2\angle DCA$. $\angle BCD = 63 + \angle DCA$. $\angle DAB + \angle ADC = 180$. $\angle CBA + \angle BCD = 180$. $2\angle DCA + (63+\angle DCA) = 180 \implies 3\angle DCA = 117 \implies \angle DCA=39$. Гострий кут $2 \cdot 39 = 78°$.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Використовуємо властивості трапеції, а також властивості вписаних та описаних чотирикутників.
1. Сума кутів, прилеглих до бічної сторони трапеції, дорівнює 180°. Задані кути 140° і 30° прилеглі до однієї основи. Знайдемо два інших кути:
Перший кут: $180° - 140° = 40°$.
Другий кут: $180° - 30° = 150°$.
Відповідь: Б.
2. Коло можна вписати в чотирикутник, якщо суми його протилежних сторін рівні. Нехай сторони чотирикутника дорівнюють $8x, 5x, 2x, 6x$.
Сума першої і третьої сторін: $8x + 2x = 10x$.
Сума другої і четвертої сторін: $5x + 6x = 11x$.
Оскільки $10x \neq 11x$, вписати коло в такий чотирикутник не можна.
Відповідь: Ні.
3. Сума протилежних кутів вписаного чотирикутника дорівнює 180°. Отже, $\angle B + \angle D = 180°$. За умовою $\angle B = \angle D - 60°$.
Підставимо друге рівняння в перше:
$(\angle D - 60°) + \angle D = 180°$
$2\angle D = 240° \implies \angle D = 120°$.
Тоді $\angle B = 120° - 60° = 60°$.
Відповідь: $\angle B = 60°, \angle D = 120°$.
4. Трапеція ABCD рівнобічна, отже її бічні сторони рівні: $AD = BC$. За умовою $CD = AD$, тому $AD=BC=CD$.
Розглянемо $\triangle ADC$. Він рівнобедрений ($AD=CD$), тому кути при основі AC рівні: $\angle DAC = \angle DCA$. Нехай $\angle DCA = \alpha$.
Оскільки AB || DC, то кути $\angle CAB$ і $\angle DCA$ є внутрішніми різносторонніми при січній AC, отже $\angle CAB = \angle DCA = \alpha$.
Гострий кут трапеції $\angle DAB = \angle DAC + \angle CAB = \alpha + \alpha = 2\alpha$.
Тупий кут трапеції $\angle BCD = \angle BCA + \angle DCA = 63° + \alpha$.
В рівнобічній трапеції кути при одній основі рівні, тому $\angle CBA = \angle DAB = 2\alpha$. Також $\angle ADC = \angle BCD = 63° + \alpha$.
Сума кутів, прилеглих до бічної сторони, дорівнює 180°. Отже:
$\angle CBA + \angle BCD = 180°$
$2\alpha + (63° + \alpha) = 180°$
$3\alpha = 180° - 63°$
$3\alpha = 117° \implies \alpha = 39°$.
Гострий кут трапеції: $\angle DAB = 2\alpha = 2 \cdot 39° = 78°$.
Відповідь: 78°.
