ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №4 (Варіант 2)

Обкладинка книги ГДЗ Геометрія 8 клас Істер 2025

ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу ».

Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).

Умова

1. Основи трапеції дорівнюють 8 см і 18 см. Укажіть довжину середньої лінії трапеції.
А. 13 см; Б. 4 см; В. 9 см; Г. 12 см.

2. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 26 см. Знайдіть довжину відрізка, що сполучає середини бічних сторін трикутника.

3. На малюнку $N_1N_2 = N_2N_3$, $M_1N_1 \parallel M_2N_2 \parallel M_3N_3$, $N_1N_2 : M_1M_2 = 5 : 4$, $N_2N_3 - M_2M_3 = 4$ см. Знайдіть довжину відрізка $M_1M_3$.

4. Діагоналі трапеції ділять її середню лінію на три частини. Знайдіть довжини цих частин, якщо основи трапеції дорівнюють 10 см і 12 см.

Короткий розв'язок

1. $(8 + 18) / 2 = 26 / 2 = 13$ см $\implies$ А.

2. Довжина = $26 / 2 = 13$ см.

3. $N_1N_2 = N_2N_3 = x$. За теоремою Фалеса $M_1M_2 = M_2M_3 = y$. $x/y = 5/4 \implies y=4x/5$. $x-y=4 \implies x - 4x/5 = 4 \implies x/5=4 \implies x=20$. $y=16$. $M_1M_3 = 2y = 32$ см.

4. Частина 1 = $10/2=5$ см. Частина 3 = $10/2=5$ см. Середня лінія = $(10+12)/2=11$ см. Частина 2 = $11-5-5=1$ см. Відрізки: 5 см, 1 см, 5 см.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Застосовуємо властивості середньої лінії трапеції та середньої лінії трикутника, а також узагальнену теорему Фалеса.

1. Середня лінія трапеції дорівнює півсумі її основ.
Довжина = $(8 + 18) / 2 = 26 / 2 = 13$ см.
Відповідь: А.

2. Відрізок, що сполучає середини бічних сторін трикутника, є його середньою лінією. Середня лінія паралельна основі і дорівнює її половині.
Довжина відрізка = $26 / 2 = 13$ см.
Відповідь: 13 см.

3. За умовою, паралельні прямі $M_1N_1, M_2N_2, M_3N_3$ відтинають на одній стороні кута рівні відрізки $N_1N_2 = N_2N_3$. За теоремою Фалеса, вони відтинають рівні відрізки і на другій стороні кута: $M_1M_2 = M_2M_3$.
Позначимо $N_1N_2 = N_2N_3 = x$ і $M_1M_2 = M_2M_3 = y$.
З умови $N_1N_2 : M_1M_2 = 5 : 4$ маємо $x : y = 5 : 4$, звідки $y = 4x/5$.
З умови $N_2N_3 - M_2M_3 = 4$ маємо $x - y = 4$.
Підставимо вираз для $y$ у друге рівняння:
$x - 4x/5 = 4$
$x/5 = 4 \implies x = 20$ см.
Тоді $y = (4 \cdot 20) / 5 = 16$ см.
Потрібно знайти довжину відрізка $M_1M_3 = M_1M_2 + M_2M_3 = y + y = 2y$.
$M_1M_3 = 2 \cdot 16 = 32$ см.
Відповідь: 32 см.

4. Нехай у трапеції основи дорівнюють 10 см і 12 см. Довжина її середньої лінії дорівнює півсумі основ: $MN = (10+12)/2 = 11$ см.
Діагоналі трапеції ділять її середню лінію на три відрізки. Два крайні відрізки є середніми лініями трикутників, утворених діагоналями та основами трапеції. Довжина кожного з цих крайніх відрізків дорівнює половині меншої основи.
Довжина крайніх частин = $10 / 2 = 5$ см.
Щоб знайти довжину середньої частини, віднімемо від загальної довжини середньої лінії довжини двох крайніх частин:
Довжина середньої частини = $11 - 5 - 5 = 1$ см.
Отже, довжини частин дорівнюють 5 см, 1 см і 5 см.
Відповідь: 5 см, 1 см, 5 см.