ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №5 (Варіант 1)
ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу ».
Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).
Умова
1. $\triangle ABC$ - різносторонній, $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$. Тоді $\frac{AB}{A_1B_1} = ...$
А. $\frac{AC}{A_1B_1}$; Б. $\frac{BC}{B_1C_1}$; В. $\frac{BC}{A_1C_1}$; Г. $\frac{AC}{B_1C_1}$.
2. Паралельні прямі AM, BN і CK перетинають сторони кута з вершиною O так, що $OA = 4$ см, $AB = 2$ см, $BC = 6$ см, $OM = 5$ см. Знайдіть MN і NK.
3. Сторони трикутника відносяться як $4 : 5 : 6$. Знайдіть невідомі сторони подібного йому трикутника з периметром 45 см.
4. На стороні AC трикутника ABC вибрано точку M так, що $\angle ABM = \angle C$. Знайдіть довжину відрізка MC, якщо $AM = 2$ см, $AB = 4$ см.
Короткий розв'язок
1. $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$ $\implies$ Б.
2. $\frac{OA}{OM} = \frac{AB}{MN} = \frac{BC}{NK}$. $\frac{4}{5} = \frac{2}{MN} \implies MN=2.5$. $\frac{4}{5} = \frac{6}{NK} \implies NK=7.5$.
3. $4x+5x+6x = 45 \implies 15x=45 \implies x=3$. Сторони: $12, 15, 18$ см.
4. $\triangle ABM \sim \triangle ACB$. $\frac{AB}{AC} = \frac{AM}{AB} \implies AB^2 = AM \cdot AC$. $16 = 2(2+MC) \implies 8 = 2+MC \implies MC=6$ см.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Застосовуємо означення та властивості подібних трикутників та узагальнену теорему Фалеса про пропорційні відрізки.
1. За означенням подібних трикутників, відношення відповідних сторін є рівними. Для $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ відповідними сторонами є $AB$ і $A_1B_1$, $BC$ і $B_1C_1$, $AC$ і $A_1C_1$. Отже, $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$.
Відповідь: Б.
2. За узагальненою теоремою Фалеса, паралельні прямі, що перетинають сторони кута, відтинають на них пропорційні відрізки. $\frac{OA}{OM} = \frac{AB}{MN} = \frac{BC}{NK}$.
З пропорції $\frac{OA}{OM} = \frac{AB}{MN}$ маємо: $\frac{4}{5} = \frac{2}{MN} \implies 4 \cdot MN = 5 \cdot 2 \implies MN = \frac{10}{4} = 2.5$ см.
З пропорції $\frac{OA}{OM} = \frac{BC}{NK}$ маємо: $\frac{4}{5} = \frac{6}{NK} \implies 4 \cdot NK = 5 \cdot 6 \implies NK = \frac{30}{4} = 7.5$ см.
Відповідь: MN = 2.5 см, NK = 7.5 см.
3. Нехай сторони першого трикутника $a=4x, b=5x, c=6x$. Його периметр $P = 4x+5x+6x = 15x$. Сторони подібного трикутника $a_1, b_1, c_1$ з периметром $P_1=45$ см. Відношення периметрів подібних трикутників дорівнює коефіцієнту подібності $k$. $k = \frac{P_1}{P} = \frac{45}{15x} = \frac{3}{x}$.
Тоді $a_1 = k \cdot a = \frac{3}{x} \cdot 4x = 12$ см.
$b_1 = k \cdot b = \frac{3}{x} \cdot 5x = 15$ см.
$c_1 = k \cdot c = \frac{3}{x} \cdot 6x = 18$ см.
Відповідь: 12 см, 15 см, 18 см.
4. Розглянемо $\triangle ABM$ і $\triangle ACB$. Кут A у них спільний, $\angle ABM = \angle C$ за умовою. Отже, $\triangle ABM \sim \triangle ACB$ за двома кутами. З подібності трикутників маємо: $\frac{AB}{AC} = \frac{AM}{AB}$.
Звідси $AB^2 = AM \cdot AC$. Підставимо відомі значення: $4^2 = 2 \cdot AC \implies 16 = 2 \cdot AC \implies AC = 8$ см.
Оскільки $AC = AM + MC$, то $MC = AC - AM = 8 - 2 = 6$ см.
Відповідь: 6 см.
