ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №5 (Варіант 4)

Обкладинка книги ГДЗ Геометрія 8 клас Істер 2025

ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу ».

Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).

Умова

1. $\triangle KLM$ - різносторонній, $\triangle KLM \sim \triangle K_1L_1M_1$. Тоді $\frac{KL}{K_1L_1} = ...$
А. $\frac{KM}{K_1L_1}$; Б. $\frac{LM}{K_1M_1}$; В. $\frac{LM}{L_1M_1}$; Г. $\frac{KM}{M_1L_1}$.

2. Паралельні прямі AK, BL і CM перетинають сторони кута з вершиною O так, що $OA = 7$ см, $AB = 4$ см, $BC = 9$ см, $KL = 2$ см. Знайдіть OK і LM.

3. Сторони трикутника відносяться як $5 : 7 : 8$. Знайдіть невідомі сторони подібного йому трикутника з периметром 80 см.

4. На стороні AC трикутника ABC вибрано точку L так, що $\angle A = \angle LBC$, $BC = 9$ см, $LC = 6$ см. Знайдіть довжину відрізка AL.

Короткий розв'язок

1. $\frac{KL}{K_1L_1} = \frac{LM}{L_1M_1} = \frac{KM}{K_1M_1}$ $\implies$ В.

2. $\frac{AB}{KL} = \frac{OA}{OK} = \frac{BC}{LM}$. $\frac{4}{2} = \frac{7}{OK} \implies OK=3.5$. $\frac{4}{2} = \frac{9}{LM} \implies LM=4.5$.

3. $5x+7x+8x = 80 \implies 20x=80 \implies x=4$. Сторони: $20, 28, 32$ см.

4. $\triangle ABC \sim \triangle LBC$. $\frac{AC}{BC} = \frac{BC}{LC} \implies \frac{AL+6}{9} = \frac{9}{6} \implies AL+6 = 13.5 \implies AL=7.5$ см.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Застосовуємо означення та властивості подібних трикутників та узагальнену теорему Фалеса про пропорційні відрізки.

1. За означенням подібних трикутників, відношення відповідних сторін є рівними. Для $\triangle KLM \sim \triangle K_1L_1M_1$ відповідними сторонами є $KL$ і $K_1L_1$, $LM$ і $L_1M_1$, $KM$ і $K_1M_1$. Отже, $\frac{KL}{K_1L_1} = \frac{LM}{L_1M_1} = \frac{KM}{K_1M_1}$.
Відповідь: В.

2. За узагальненою теоремою Фалеса, паралельні прямі, що перетинають сторони кута, відтинають на них пропорційні відрізки. $\frac{AB}{KL} = \frac{OA}{OK} = \frac{BC}{LM}$.
З пропорції $\frac{AB}{KL} = \frac{OA}{OK}$ маємо: $\frac{4}{2} = \frac{7}{OK} \implies 4 \cdot OK = 2 \cdot 7 \implies OK = \frac{14}{4} = 3.5$ см.
З пропорції $\frac{AB}{KL} = \frac{BC}{LM}$ маємо: $\frac{4}{2} = \frac{9}{LM} \implies 4 \cdot LM = 2 \cdot 9 \implies LM = \frac{18}{4} = 4.5$ см.
Відповідь: OK = 3.5 см, LM = 4.5 см.

3. Нехай сторони шуканого трикутника $a, b, c$. Оскільки він подібний до трикутника зі сторонами, що відносяться як $5:7:8$, то сторони шуканого трикутника також відносяться як $5:7:8$. Нехай $a=5x, b=7x, c=8x$. Периметр $P = a+b+c = 5x+7x+8x = 20x$. За умовою $P=80$ см, отже $20x=80 \implies x=4$.
Тоді сторони трикутника: $a = 5 \cdot 4 = 20$ см, $b = 7 \cdot 4 = 28$ см, $c = 8 \cdot 4 = 32$ см.
Відповідь: 20 см, 28 см, 32 см.

4. Розглянемо $\triangle ABC$ і $\triangle LBC$. Кут C у них спільний, $\angle A = \angle LBC$ за умовою. Отже, $\triangle ABC \sim \triangle LBC$ за двома кутами. З подібності трикутників маємо: $\frac{AC}{BC} = \frac{BC}{LC}$.
Нехай $AL = x$ см, тоді $AC = AL+LC = x+6$. Підставимо відомі значення: $\frac{x+6}{9} = \frac{9}{6} \implies 6(x+6) = 9 \cdot 9 \implies 6x+36 = 81 \implies 6x = 45 \implies x = 7.5$. Отже, $AL = 7.5$ см.
Відповідь: 7.5 см.