ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №5 (Варіант 3)

Обкладинка книги ГДЗ Геометрія 8 клас Істер 2025

ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу ».

Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).

Умова

1. $\triangle ABC$ - різносторонній, $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$. Тоді $\frac{BC}{B_1C_1} = ...$
А. $\frac{AC}{A_1C_1}$; Б. $\frac{AC}{B_1C_1}$; В. $\frac{AB}{B_1C_1}$; Г. $\frac{AB}{A_1C_1}$.

2. Паралельні прямі AK, BM і CN перетинають сторони кута з вершиною O так, що $OK = 4$ см, $KM = 2$ см, $MN = 6$ см, $AB = 3$ см. Знайдіть OA і BC.

3. Сторони трикутника відносяться як $5 : 7 : 9$. Знайдіть невідомі сторони подібного йому трикутника з периметром 63 см.

4. На стороні BC трикутника ABC вибрано точку K так, що $\angle BAK = \angle C$. Знайдіть довжину відрізка KC, якщо $AB = 3$ см, $BK = 2$ см.

Короткий розв'язок

1. $\frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{AB}{A_1B_1}$ $\implies$ А.

2. $\frac{KM}{AB} = \frac{OK}{OA} = \frac{MN}{BC}$. $\frac{2}{3} = \frac{4}{OA} \implies OA=6$. $\frac{2}{3} = \frac{6}{BC} \implies BC=9$.

3. $5x+7x+9x = 63 \implies 21x=63 \implies x=3$. Сторони: $15, 21, 27$ см.

4. $\triangle ABK \sim \triangle CBA$. $\frac{AB}{CB} = \frac{BK}{AB} \implies AB^2 = BK \cdot CB$. $9 = 2(2+KC) \implies 4.5 = 2+KC \implies KC=2.5$ см.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Застосовуємо означення та властивості подібних трикутників та узагальнену теорему Фалеса про пропорційні відрізки.

1. За означенням подібних трикутників, відношення відповідних сторін є рівними. Для $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ відповідними сторонами є $BC$ і $B_1C_1$, $AC$ і $A_1C_1$, $AB$ і $A_1B_1$. Отже, $\frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{AB}{A_1B_1}$.
Відповідь: А.

2. За узагальненою теоремою Фалеса, паралельні прямі, що перетинають сторони кута, відтинають на них пропорційні відрізки. $\frac{KM}{AB} = \frac{OK}{OA} = \frac{MN}{BC}$.
З пропорції $\frac{KM}{AB} = \frac{OK}{OA}$ маємо: $\frac{2}{3} = \frac{4}{OA} \implies 2 \cdot OA = 3 \cdot 4 \implies OA = \frac{12}{2} = 6$ см.
З пропорції $\frac{KM}{AB} = \frac{MN}{BC}$ маємо: $\frac{2}{3} = \frac{6}{BC} \implies 2 \cdot BC = 3 \cdot 6 \implies BC = \frac{18}{2} = 9$ см.
Відповідь: OA = 6 см, BC = 9 см.

3. Нехай сторони шуканого трикутника $a, b, c$. Оскільки він подібний до трикутника зі сторонами, що відносяться як $5:7:9$, то сторони шуканого трикутника також відносяться як $5:7:9$. Нехай $a=5x, b=7x, c=9x$. Периметр $P = a+b+c = 5x+7x+9x = 21x$. За умовою $P=63$ см, отже $21x=63 \implies x=3$.
Тоді сторони трикутника: $a = 5 \cdot 3 = 15$ см, $b = 7 \cdot 3 = 21$ см, $c = 9 \cdot 3 = 27$ см.
Відповідь: 15 см, 21 см, 27 см.

4. Розглянемо $\triangle ABK$ і $\triangle CBA$. Кут B у них спільний, $\angle BAK = \angle C$ за умовою. Отже, $\triangle ABK \sim \triangle CBA$ за двома кутами. З подібності трикутників маємо: $\frac{AB}{CB} = \frac{BK}{AB}$.
Звідси $AB^2 = BK \cdot CB$. Нехай $KC = x$ см, тоді $CB = BK+KC = 2+x$. Підставимо відомі значення: $3^2 = 2 \cdot (2+x) \implies 9 = 4 + 2x \implies 2x = 5 \implies x = 2.5$. Отже, $KC = 2.5$ см.
Відповідь: 2.5 см.