ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №5 (Варіант 2)

Обкладинка книги ГДЗ Геометрія 8 клас Істер 2025

ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу ».

Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).

Умова

1. $\triangle KLM$ - різносторонній, $\triangle KLM \sim \triangle K_1L_1M_1$. Тоді $\frac{LM}{L_1M_1} = ...$
А. $\frac{KL}{K_1M_1}$; Б. $\frac{KL}{M_1L_1}$; В. $\frac{KM}{K_1L_1}$; Г. $\frac{KM}{K_1M_1}$.

2. Паралельні прямі AK, BL і CM перетинають сторони кута з вершиною O так, що $OK = 3$ см, $KL = 2$ см, $LM = 5$ см, $AB = 3$ см. Знайдіть OA і BC.

3. Сторони трикутника відносяться як $4 : 5 : 7$. Знайдіть невідомі сторони подібного йому трикутника з периметром 32 см.

4. На стороні AB трикутника ABC вибрано точку F так, що $\angle FCB = \angle A$, $FB = 2$ см, $BC = 3$ см. Знайдіть довжину відрізка AF.

Короткий розв'язок

1. $\frac{LM}{L_1M_1} = \frac{KM}{K_1M_1} = \frac{KL}{K_1L_1}$ $\implies$ Г.

2. $\frac{OK}{OA} = \frac{KL}{AB} = \frac{LM}{BC}$. $\frac{2}{3} = \frac{3}{OA} \implies OA=4.5$. $\frac{2}{3} = \frac{5}{BC} \implies BC=7.5$.

3. $4x+5x+7x = 32 \implies 16x=32 \implies x=2$. Сторони: $8, 10, 14$ см.

4. $\triangle FCB \sim \triangle ACB$. $\frac{CB}{AB} = \frac{FB}{CB} \implies CB^2 = FB \cdot AB$. $9 = 2(AF+2) \implies 4.5 = AF+2 \implies AF=2.5$ см.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Застосовуємо означення та властивості подібних трикутників та узагальнену теорему Фалеса про пропорційні відрізки.

1. За означенням подібних трикутників, відношення відповідних сторін є рівними. Для $\triangle KLM \sim \triangle K_1L_1M_1$ відповідними сторонами є $LM$ і $L_1M_1$, $KM$ і $K_1M_1$, $KL$ і $K_1L_1$. Отже, $\frac{LM}{L_1M_1} = \frac{KM}{K_1M_1} = \frac{KL}{K_1L_1}$.
Відповідь: Г.

2. За узагальненою теоремою Фалеса, паралельні прямі, що перетинають сторони кута, відтинають на них пропорційні відрізки. $\frac{OK}{OA} = \frac{KL}{AB} = \frac{LM}{BC}$.
З пропорції $\frac{KL}{AB} = \frac{OK}{OA}$ маємо: $\frac{2}{3} = \frac{3}{OA} \implies 2 \cdot OA = 3 \cdot 3 \implies OA = \frac{9}{2} = 4.5$ см.
З пропорції $\frac{KL}{AB} = \frac{LM}{BC}$ маємо: $\frac{2}{3} = \frac{5}{BC} \implies 2 \cdot BC = 3 \cdot 5 \implies BC = \frac{15}{2} = 7.5$ см.
Відповідь: OA = 4.5 см, BC = 7.5 см.

3. Нехай сторони шуканого трикутника $a, b, c$. Оскільки він подібний до трикутника зі сторонами, що відносяться як $4:5:7$, то сторони шуканого трикутника також відносяться як $4:5:7$. Нехай $a=4x, b=5x, c=7x$. Периметр $P = a+b+c = 4x+5x+7x = 16x$. За умовою $P=32$ см, отже $16x=32 \implies x=2$.
Тоді сторони трикутника: $a = 4 \cdot 2 = 8$ см, $b = 5 \cdot 2 = 10$ см, $c = 7 \cdot 2 = 14$ см.
Відповідь: 8 см, 10 см, 14 см.

4. Розглянемо $\triangle FCB$ і $\triangle ACB$. Кут B у них спільний, $\angle FCB = \angle A$ за умовою. Отже, $\triangle FCB \sim \triangle ACB$ за двома кутами. З подібності трикутників маємо: $\frac{CB}{AB} = \frac{FB}{CB}$.
Звідси $CB^2 = FB \cdot AB$. Нехай $AF = x$ см, тоді $AB = AF+FB = x+2$. Підставимо відомі значення: $3^2 = 2 \cdot (x+2) \implies 9 = 2x + 4 \implies 2x = 5 \implies x = 2.5$. Отже, $AF = 2.5$ см.
Відповідь: 2.5 см.