До змісту

ГДЗ до вправи 11.16 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 11.16

При яких значеннях xx виконується рівність:

  1. x2−44=x−24⋅x+24\sqrt[4]{x^2 - 4} = \sqrt[4]{x - 2} \cdot \sqrt[4]{x + 2};
  2. (x−3)(7−x)8=x−38⋅7−x8\sqrt[8]{(x - 3)(7 - x)} = \sqrt[8]{x - 3} \cdot \sqrt[8]{7 - x}?

Розв'язок вправи № 11.16

Коротке рішення

1) Рівність виконується на області визначення правої частини: {x−2≥0x+2≥0⇒{x≥2x≥−2⇒x≥2\begin{cases} x - 2 \ge 0 \\ x + 2 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 2 \\ x \ge -2 \end{cases} \Rightarrow x \ge 2.

2) Рівність виконується на області визначення правої частини: {x−3≥07−x≥0⇒{x≥3x≤7⇒x∈[3;7]\begin{cases} x - 3 \ge 0 \\ 7 - x \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 3 \\ x \le 7 \end{cases} \Rightarrow x \in [3; 7].

Детальне рішення

Ключ до розв’язання: Рівність f(x)⋅g(x)n=f(x)n⋅g(x)n\sqrt[n]{f(x) \cdot g(x)} = \sqrt[n]{f(x)} \cdot \sqrt[n]{g(x)} для парних показників nn справедлива лише тоді, коли кожна з функцій f(x)f(x) та g(x)g(x) набуває невід'ємних значень. Якщо функції від'ємні, їхній добуток під загальним коренем існує, але розкласти його на окремі корені неможливо. Тема: Властивості кореня n-го степеня.

  • У першому завданні: Для того, щоб вираз праворуч мав зміст, обидва доданки мають бути ≥0\ge 0. Отримуємо систему нерівностей x≥2x \ge 2 та x≥−2x \ge -2. Спільним розв'язком є промінь [2;+∞)[2; +\infty). При від'ємних значеннях (наприклад, x=−3x=-3) ліва частина існує, а права — ні.
  • У другому завданні: Аналогічно, корені 8-го степеня правої частини вимагають виконання умов x≥3x \ge 3 та 7−x≥07 - x \ge 0. Це обмежує можливі значення змінної відрізком від 3 до 7 включно.

Популярне у 10 класі