До змісту

ГДЗ до вправи 13.1 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 13.1

Розв’яжіть рівняння:

  1. 2x−17=3−x7; \sqrt[7]{2x - 1} = \sqrt[7]{3 - x};
  2. 2x−1=1−2x; \sqrt{2x - 1} = \sqrt{1 - 2x};
  3. 2x−1=x−3; \sqrt{2x - 1} = \sqrt{x - 3};
  4. 2x−1=x2+4x−16. \sqrt{2x - 1} = \sqrt{x^2 + 4x - 16}.

Розв'язок вправи № 13.1

Коротке рішення

1) 2x−1=3−x⇒3x=4⇒x=43=113 2x - 1 = 3 - x \Rightarrow 3x = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}

2) {2x−1≥01−2x≥0⇒{x≥0,5x≤0,5⇒x=0,5 \begin{cases} 2x - 1 \ge 0 \\ 1 - 2x \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 0,5 \\ x \le 0,5 \end{cases} \Rightarrow x = 0,5

3) {2x−1=x−3x−3≥0⇒{x=−2x≥3⇒∅ \begin{cases} 2x - 1 = x - 3 \\ x - 3 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = -2 \\ x \ge 3 \end{cases} \Rightarrow \emptyset

4) {2x−1=x2+4x−162x−1≥0⇒{x2+2x−15=0x≥0,5⇒ \begin{cases} 2x - 1 = x^2 + 4x - 16 \\ 2x - 1 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 + 2x - 15 = 0 \\ x \ge 0,5 \end{cases} \Rightarrow
{(x+5)(x−3)=0x≥0,5⇒x=3\begin{cases} (x + 5)(x - 3) = 0 \\ x \ge 0,5 \end{cases} \Rightarrow x = 3

Детальне рішення

Для розв’язання ірраціональних рівнянь використовуємо властивості рівносильності та враховуємо область допустимих значень (ОДЗ) підкореневих виразів для парних степенів. Тема: Ірраціональні рівняння.

  • У першому рівнянні показник кореня непарний (7), тому рівняння рівносильне підкореневим виразам без обмежень. Переносимо доданки та знаходимо корінь.
  • У другому рівнянні корінь парного степеня вимагає невід'ємності обох частин. Оскільки вирази є протилежними за знаком, єдиним можливим розв'язком є рівність нулю.
  • У третьому рівнянні після піднесення до квадрата отримуємо x=−2 x = -2 . Перевірка умови x≥3 x \ge 3 (через другий корінь) показує, що це сторонній корінь.
  • У четвертому рівнянні зводимо до квадратного рівняння. За теоремою Вієта знаходимо корені -5 та 3. Умова x≥0,5 x \ge 0,5 відсікає від'ємний корінь.

Популярне у 10 класі