ГДЗ до вправи 14.16 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Нехай $$ u = \sqrt[4]{18 + 5x}, v = \sqrt[4]{64 - 5x} \Rightarrow u, v \ge 0 $$

$$ \begin{cases} u + v = 4 \\ u^4 + v^4 = 82 \end{cases} $$

$$ u^4 + v^4 = ( (u + v)^2 - 2uv )^2 - 2(uv)^2 $$

Нехай $$ uv = p \Rightarrow (16 - 2p)^2 - 2p^2 = 82 $$

$$ 256 - 64p + 4p^2 - 2p^2 = 82 \Rightarrow 2p^2 - 64p + 174 = 0 \Rightarrow p^2 - 32p + 87 = 0 $$

$$ p_1 = 3; \quad p_2 = 29 $$

1) $$ \begin{cases} u + v = 4 \\ uv = 3 \end{cases} \Rightarrow \{1; 3\} \Rightarrow \sqrt[4]{18 + 5x} = 1 \text{ або } 3 \Rightarrow x = -3,4; x = 12,6 $$

2) $$ \begin{cases} u + v = 4 \\ uv = 29 \end{cases} \Rightarrow \emptyset $$

Відповідь: -3,4; 12,6.

Введемо заміну для кожного з коренів. Сума підкореневих виразів дає число 82, що дозволяє позбутися змінної x та скласти систему рівнянь для u та v.

Використовуючи алгебраїчні тотожності, виразимо суму четвертих степенів через суму та добуток змінних. Отримане квадратне рівняння для добутку p = uv дає два можливих значення.

Аналіз кожного випадку за теоремою Вієта показує, що лише один варіант добутку веде до дійсних значень змінних. Фінальні розв'язки для x знаходимо, підносячи отримані значення допоміжних змінних до четвертого степеня.