ГДЗ до вправи 14.12 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

ОДЗ: $ x \ge -3 $. Поділимо на $ x + 3 \neq 0 $:

$$ 6 \cdot \frac{x^2}{x + 3} - 5 \cdot \frac{x}{\sqrt{x + 3}} + 1 = 0 $$

Нехай $ \frac{x}{\sqrt{x + 3}} = t \Rightarrow 6t^2 - 5t + 1 = 0 $

$$ D = 25 - 24 = 1; \quad t_1 = \frac{1}{2}; \quad t_2 = \frac{1}{3} $$

1) $$ \frac{x}{\sqrt{x + 3}} = \frac{1}{2} \Rightarrow 2x = \sqrt{x + 3} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 0 \\ 4x^2 - x - 3 = 0 \end{cases} \Rightarrow x = 1 $$

2) $$ \frac{x}{\sqrt{x + 3}} = \frac{1}{3} \Rightarrow 3x = \sqrt{x + 3} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 0 \\ 9x^2 - x - 3 = 0 \end{cases} \Rightarrow x = \frac{1 + \sqrt{109}}{18} $$

Відповідь: 1; $ \frac{1 + \sqrt{109}}{18} $.

Враховуючи ОДЗ ($ x \ge -3 $), помітимо, що значення $ x = -3 $ не задовольняє рівняння ($ 54 \neq 0 $). Це дозволяє поділити все рівняння на вираз $ x + 3 $, що дорівнює $ (\sqrt{x + 3})^2 $.

Після ділення отримуємо квадратне рівняння відносно відношення змінної до кореня. Введення допоміжної змінної $ t $ спрощує пошук коренів.

Обидва отримані значення $ t $ є додатними, що за умовою $ t = \frac{x}{\sqrt{x + 3}} $ вимагає невід'ємності $ x $. При піднесенні до квадрата утворюються два нових квадратних рівняння. Перевірка умов $ x \ge 0 $ дозволяє залишити лише правильні розв'язки.