ГДЗ до вправи 14.14 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Нехай $ a = \sqrt[3]{x + 4}, b = \sqrt[3]{x - 5} $

$$ \begin{cases} a^2 + b^2 + ab = 3 \\ a^3 - b^3 = x + 4 - (x - 5) = 9 \end{cases} $$

$$ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \Rightarrow 9 = (a - b) \cdot 3 \Rightarrow a - b = 3 $$

$$ \begin{cases} a = b + 3 \\ (b + 3)^2 + (b + 3)b + b^2 = 3 \end{cases} \Rightarrow 3b^2 + 9b + 6 = 0 \Rightarrow b^2 + 3b + 2 = 0 $$

$$ b_1 = -1 \Rightarrow \sqrt[3]{x - 5} = -1 \Rightarrow x - 5 = -1 \Rightarrow x_1 = 4 $$

$$ b_2 = -2 \Rightarrow \sqrt[3]{x - 5} = -2 \Rightarrow x - 5 = -8 \Rightarrow x_2 = -3 $$

Відповідь: -3; 4.

Введемо нові змінні для кубічних коренів: $ a $ та $ b $. Різниця їхніх кубів позбавляє нас від змінної $ x $, оскільки $ (x+4) - (x-5) = 9 $.

Оскільки ліва частина початкового рівняння є неповним квадратом суми $ a^2 + ab + b^2 $ і дорівнює 3, ми використовуємо тотожність для різниці кубів: $ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $.

Звідси випливає, що $ a - b = 3 $. Складена система рівнянь розв’язується методом підстановки, що призводить до квадратного рівняння відносно $ b $. Знайдені корені допоміжної змінної дозволяють легко обчислити кінцеві значення $ x $.