ГДЗ до вправи 14.13 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 14.13
Розв’яжіть рівняння:
$ \sqrt[3]{(x + 3)^2} + \sqrt[3]{(6 - x)^2} - \sqrt[3]{(x + 3)(6 - x)} = 3 $
Розв'язок вправи № 14.13
Коротке рішення
Нехай $ a = \sqrt[3]{x + 3}, b = \sqrt[3]{6 - x} $
$ \begin{cases} a^2 + b^2 - ab = 3 \\ a^3 + b^3 = x + 3 + 6 - x = 9 \end{cases} $
$ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \Rightarrow 9 = (a + b) \cdot 3 \Rightarrow a + b = 3 $
$ \begin{cases} b = 3 - a \\ a^2 - a(3 - a) + (3 - a)^2 = 3 \end{cases} \Rightarrow 3a^2 - 9a + 6 = 0 \Rightarrow a^2 - 3a + 2 = 0 $
$ a_1 = 1 \Rightarrow \sqrt[3]{x + 3} = 1 \Rightarrow x + 3 = 1 \Rightarrow x_1 = -2 $
$ a_2 = 2 \Rightarrow \sqrt[3]{x + 3} = 2 \Rightarrow x + 3 = 8 \Rightarrow x_2 = 5 $
Відповідь: -2; 5.
Детальне рішення
Рівняння містить суму та добуток коренів третього степеня, що дозволяє застосувати метод заміни змінної та використати формулу суми кубів. Довідник: Ірраціональні рівняння
Введемо заміну: нехай перший корінь дорівнює $ a $, а другий — $ b $. Помітимо, що сума підкореневих виразів позбавляє нас від змінної $ x $, даючи число 9.
Використовуючи формулу $ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) $, підставимо значення з умови. Оскільки вираз у другій дужці за умовою дорівнює 3, ми отримуємо просту лінійну залежність між новими змінними: $ a + b = 3 $.
Розв’язавши отриману систему підстановкою, знаходимо значення допоміжної змінної $ a $. Повернення до початкової змінної через піднесення до куба дає два цілих корені.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.