ГДЗ до вправи 15.12 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 15.12
Розв’яжіть нерівність:
- $ \sqrt{x - 6} - \sqrt{x + 10} \le 1; $
- $ 2\sqrt{x} + \sqrt{5 - x} > \sqrt{x + 21}. $
Розв'язок вправи № 15.12
Коротке рішення
1) $ \text{ОДЗ: } x \ge 6 $
$ \sqrt{x - 6} \le 1 + \sqrt{x + 10} \Rightarrow x - 6 \le 1 + x + 10 + 2\sqrt{x + 10} $
$ -17 \le 2\sqrt{x + 10} \Rightarrow \text{правильно для будь-якого } x \text{ з ОДЗ} $
Відповідь: $ [6; +\infty) $.
2) $ \text{ОДЗ: } x \in [0; 5] $
$ 4x + 5 - x + 4\sqrt{x(5 - x)} > x + 21 \Rightarrow 4\sqrt{5x - x^2} > 16 - 2x $
$ 2\sqrt{5x - x^2} > 8 - x $
$ \text{умова: } 8 - x > 0 \text{ завжди на ОДЗ} $
$ 4(5x - x^2) > 64 - 16x + x^2 \Rightarrow 5x^2 - 36x + 64 < 0 $
$ D = 1296 - 1280 = 16; \quad x_1 = 4; \quad x_2 = 3,2 $
$ x \in (3,2; 4) $
Відповідь: $ (3,2; 4) $.
Детальне рішення
Розв’язання ірраціональних нерівностей базується на врахуванні області допустимих значень (ОДЗ) та властивостей монотонності кореневих функцій. Додатково про ОДЗ: Теоретичний довідник.
- У першому пункті після перетворення нерівність зводиться до порівняння від'ємного числа з арифметичним коренем. Оскільки корінь завжди невід'ємний, нерівність справджується для всіх значень змінної з області визначення.
- У другому пункті ОДЗ обмежує розв'язки відрізком [0; 5]. Після піднесення до квадрата та спрощення виявляється, що права частина завжди додатна на ОДЗ, тому повторне піднесення до квадрата є рівносильним переходом.
- Корені квадратної нерівності у другому прикладі повністю входять в ОДЗ, що і визначає кінцевий результат.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.