ГДЗ до вправи 15.13 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 15.13
Розв’яжіть нерівність:
$$ \sqrt{x + 3} + \sqrt[3]{x^3 + x + 6} \ge 4 $$
Розв'язок вправи № 15.13
Коротке рішення
$$ \text{ОДЗ: } x \ge -3 $$
$$ f(x) = \sqrt{x + 3} + \sqrt[3]{x^3 + x + 6} $$
$$ y_1 = \sqrt{x + 3} \uparrow \text{ на } [-3; +\infty) $$
$$ y_2 = \sqrt[3]{x^3 + x + 6} \uparrow \text{ на } \mathbb{R} \Rightarrow f(x) \uparrow \text{ на } [-3; +\infty) $$
$$ f(1) = \sqrt{1 + 3} + \sqrt[3]{1^3 + 1 + 6} = 2 + 2 = 4 $$
$$ f(x) \ge f(1) \Rightarrow x \ge 1 $$
Відповідь: $ [1; +\infty) $.
Детальне рішення
Для розв’язання цієї нерівності доцільно використати властивість монотонності функцій. Теорія: Функції та їх властивості.
Розглянемо функцію у лівій частині нерівності. Обидва її доданки є зростаючими функціями на області визначення ($ x \ge -3 $), отже, і вся функція f(x) є строго зростаючою.
Методом підбору знаходимо значення аргументу, при якому функція дорівнює 4. Це значення x = 1.
Оскільки функція зростає, то більшим значенням функції відповідають більші значення аргументу. Отже, розв'язком нерівності є всі числа, що не менші за 1.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.