ГДЗ до вправи 15.9 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $ \text{ОДЗ: } x \ge 0,5, x \ne 2 $ $ \text{а) } x \in [0,5; 2) \Rightarrow \frac{+}{-} < 1 \text{ (правильно)} $ $ \text{б) } x > 2 \Rightarrow \sqrt{2x - 1} < x - 2 \Rightarrow 2x - 1 < x^2 - 4x + 4 \Rightarrow $
$x^2 - 6x + 5 > 0 \Rightarrow x > 5 $
Відповідь: $ [0,5; 2) \cup (5; +\infty) $.

2) $ \text{ОДЗ: } x \in [-0,5; 0) \cup (0; 0,5] $ $ \text{а) } x \in (0; 0,5] \Rightarrow 1 - \sqrt{1 - 4x^2} < 3x \Rightarrow 1 - 3x < \sqrt{1 - 4x^2} \Rightarrow $
$x \in (0; 0,5] $ $ \text{б) } x \in [-0,5; 0) \Rightarrow 1 - \sqrt{1 - 4x^2} > 3x \Rightarrow 1 - 3x > \sqrt{1 - 4x^2} \Rightarrow $
$x \in [-0,5; 0) $
Відповідь: $ [-0,5; 0) \cup (0; 0,5] $.

3) $ \sqrt{8 - 2x - x^2} \cdot \left( \frac{1}{x + 10} - \frac{1}{2x + 9} \right) \le 0 $ $ \text{ОДЗ: } x \in [-4; 2] $ $ \text{а) } \sqrt{...} = 0 \Rightarrow x = -4, x = 2 $ $ \text{б) } \frac{2x + 9 - x - 10}{(x + 10)(2x + 9)} \le 0 \Rightarrow \frac{x - 1}{(x + 10)(2x + 9)} \le 0 \Rightarrow x \in (-4,5; 1] $
Відповідь: $ [-4; 1] \cup \{2\} $.

4) $ \frac{\sqrt{x^2 - 3x - 4} - 3x + 16 - 6 + x}{6 - x} > 0 \Rightarrow \frac{\sqrt{x^2 - 3x - 4} - 2x + 10}{6 - x} > 0 $ $ \text{ОДЗ: } x \in (-\infty; -1] \cup [4; 6) $ $ \text{а) } x \in [4; 6) \Rightarrow \sqrt{x^2 - 3x - 4} > 2x - 10 \Rightarrow x \in [4; 5,2) $ $ \text{б) } x \in (-\infty; -1] \Rightarrow \sqrt{x^2 - 3x - 4} > 2x - 10 \text{ (правильно)} $
Відповідь: $ (-\infty; -1] \cup [4; 5,2) $.

• У першому та другому пунктах розв'язання розділяється на випадки залежно від знака змінної або знаменника. Це дозволяє правильно позбутися дробів і піднести частини до квадрата.
• У третьому пункті спільний радикал виноситься за дужки. Значення, що перетворюють його на нуль, завжди є розв'язками нестрогої нерівності.
• У четвертому пункті після зведення до спільного знаменника нерівність розв'язується методом інтервалів або шляхом аналізу знаків чисельника і знаменника на ОДЗ.