ГДЗ до вправи 15.5 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $$ \left[ \begin{gathered} \begin{cases} x + 1 < 0 \\ x + 7 \ge 0 \end{cases} \\ \begin{cases} x + 1 \ge 0 \\ x + 7 \ge (x + 1)^2 \end{cases} \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} \begin{cases} x < -1 \\ x \ge -7 \end{cases} \\ \begin{cases} x \ge -1 \\ x^2 + x - 6 \le 0 \end{cases} \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} x \in [-7; -1) \\ \begin{cases} x \ge -1 \\ x \in [-3; 2] \end{cases} \end{gathered} \right. \Rightarrow x \in [-7; 2] $$

---

2) $$ \left[ \begin{gathered} \begin{cases} 4 - x < 0 \\ x^2 - 2x \ge 0 \end{cases} \\ \begin{cases} 4 - x \ge 0 \\ x^2 - 2x \ge (4 - x)^2 \end{cases} \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} \begin{cases} x > 4 \\ x(x - 2) \ge 0 \end{cases} \\ \begin{cases} x \le 4 \\ 6x \ge 16 \end{cases} \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} x > 4 \\ \begin{cases} x \le 4 \\ x \ge 2\frac{2}{3} \end{cases} \end{gathered} \right. \Rightarrow x \in [2\frac{2}{3}; +\infty) $$

---

3) $$ \left[ \begin{gathered} \begin{cases} x < 0 \\ x^2 + x - 2 \ge 0 \end{cases} \\ \begin{cases} x \ge 0 \\ x^2 + x - 2 > x^2 \end{cases} \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} \begin{cases} x < 0 \\ (x + 2)(x - 1) \ge 0 \end{cases} \\ \begin{cases} x \ge 0 \\ x > 2 \end{cases} \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} x \in (-\infty; -2] \\ x \in (2; +\infty) \end{gathered} \right. \Rightarrow x \in (-\infty; -2] \cup (2; +\infty) $$

---

4) $$ \left[ \begin{gathered} \begin{cases} 8 - 2x < 0 \\ -x^2 + 6x - 5 \ge 0 \end{cases} \\ \begin{cases} 8 - 2x \ge 0 \\ -x^2 + 6x - 5 > (8 - 2x)^2 \end{cases} \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} \begin{cases} x > 4 \\ (x - 1)(x - 5) \le 0 \end{cases} \\ \begin{cases} x \le 4 \\ 5x^2 - 38x + 69 < 0 \end{cases} \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} x \in (4; 5] \\ \begin{cases} x \le 4 \\ x \in (3; 4,6) \end{cases} \end{gathered} \right. \Rightarrow x \in (3; 5] $$

• Перша система описує випадок, коли права частина від'ємна: тоді нерівність справджується для всіх x з області визначення кореня.
• Друга система описує випадок невід'ємної правої частини: тоді обидві сторони підносяться до квадрата.
• У четвертому пункті квадратна нерівність для другої системи має корені 3 та 4,6. Перетин цих умов з областю визначення кореня дає фінальний інтервал.