ГДЗ до вправи 17.14 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 17.14
Знайдіть найбільше і найменше значення виразу:
- $ \frac{1}{\cos \alpha - 2} $;
- $ \frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\sin \alpha} $;
- $ \sin \alpha + \cos \alpha - \frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\cos \alpha} $.
Розв'язок вправи № 17.14
Коротке рішення
1) $ -1 \le \cos \alpha \le 1 \Rightarrow -3 \le \cos \alpha - 2 \le -1 $ $ -1 \le \frac{1}{\cos \alpha - 2} \le -\frac{1}{3} \Rightarrow \text{max} = -\frac{1}{3}; \quad \text{min} = -1 $
2) $ \sin \alpha \ne 0 \Rightarrow \cos \alpha \in (-1; 1) $ $ \text{найбільшого та найменшого значень немає} $
3) $ \cos \alpha \ne 0 \Rightarrow \sin \alpha + \cos \alpha - \sin \alpha = \cos \alpha $ $ \cos \alpha, \text{ де } \cos \alpha \in [-1; 1], \cos \alpha \ne 0 \Rightarrow \text{max} = 1; \quad \text{min} = -1 $
Детальне рішення
Аналіз значень тригонометричних виразів базується на обмеженості функцій синуса та косинуса відрізком [–1; 1]. Довідник: Тригонометричні функції.
- У першому пункті знаменник змінюється від -3 до -1. При переході до обернених величин знаки нерівності змінюються, що дає відрізок від –1 до $-\frac{1}{3}.$
- У другому пункті вираз тотожно дорівнює косинусу всюди, де визначений. Проте ОДЗ виключає точки, де $ \sin \alpha = 0, $ а саме в цих точках косинус міг би набути значень 1 та -1.
- У третьому пункті після спрощення залишається косинус з умовою $ \cos \alpha \ne 0. $ Оскільки значення 1 та -1 досягаються при $ \sin \alpha = 0 $ (що дозволено), то вони і є екстремумами.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.