ГДЗ до вправи 17.15 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $ -1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow 1 \le 2 + \sin x \le 3 \Rightarrow \frac{1}{3} \le \frac{1}{2 + \sin x} \le 1 $

Відповідь: $ [ \frac{1}{3}; 1]. $

---

2) $ -1 \le \cos x < 1 \Rightarrow 0 < 1 - \cos x \le 2 \Rightarrow \frac{1}{1 - \cos x} \ge \frac{1}{2} $

Відповідь: $ [ \frac{1}{2}; +\infty). $

---

3) $ -1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow -7 \le 4 \sin x - 3 \le 1 $ $ \text{а) } 4 \sin x - 3 \in [-7; 0) \Rightarrow \frac{2}{4 \sin x - 3} \in (-\infty; - \frac{2}{7}] $ $ \text{б) } 4 \sin x - 3 \in (0; 1] \Rightarrow \frac{2}{4 \sin x - 3} \in [2; +\infty) $

Відповідь: $ (-\infty; - \frac{2}{7}] \cup [2; +\infty). $

• У першому пункті знаменник ніколи не дорівнює нулю, тому ми просто оцінюємо межі дробу при екстремальних значеннях синуса.
• У другому пункті знаменник перетворюється на нуль при cos x = 1. Оскільки знаменник може бути як завгодно малим додатним числом, значення дробу необмежено зростає до нескінченності.
• У третьому пункті знаменник набуває значень обох знаків, проходячи через нуль. Це розриває область значень на два промені — від’ємний та додатний.