До змісту

ГДЗ до вправи 17.10 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 17.10

При яких значеннях aa можлива рівність:

  1. sin⁡x=a−2 \sin x = a - 2 ;
  2. cos⁡x=a2+2 \cos x = a^2 + 2 ;
  3. sin⁡x=2a−a2−2 \sin x = 2a - a^2 - 2 ?

Розв'язок вправи № 17.10

Коротке рішення

1) −1≤a−2≤1⇒1≤a≤3⇒a∈[1;3] -1 \le a - 2 \le 1 \Rightarrow 1 \le a \le 3 \Rightarrow a \in [1; 3]

2) −1≤a2+2≤1⇒a2≤−1 (хибно)⇒∅ -1 \le a^2 + 2 \le 1 \Rightarrow a^2 \le -1 \text{ (хибно)} \Rightarrow \emptyset

3) −1≤2a−a2−2≤1⇒{a2−2a+1≤0a2−2a+3≥0 -1 \le 2a - a^2 - 2 \le 1 \Rightarrow \begin{cases} a^2 - 2a + 1 \le 0 \\ a^2 - 2a + 3 \ge 0 \end{cases} {(a−1)2≤0⇒a=1D<0 (завжди правильно)⇒a=1 \begin{cases} (a - 1)^2 \le 0 \Rightarrow a = 1 \\ D < 0 \text{ (завжди правильно)} \end{cases} \Rightarrow a = 1

Детальне рішення

Для розв’язання необхідно встановити, чи перетинається множина значень параметра з областю значень функцій синуса або косинуса. Довідник: Функції та їх властивості.

  • У першому пункті лінійна нерівність дає проміжок значень параметра, при яких рівність синуса числу в межах [–1; 1] є істинною.
  • У другому пункті вираз a2+2 a^2 + 2 завжди набуває значень, більших або рівних 2. Оскільки косинус не може перевищувати 1, рівність неможлива при жодному значенні aa.
  • У третьому пункті права частина є квадратичною функцією. Виділивши повний квадрат −(a−1)2−1 -(a-1)^2 - 1, ми бачимо, що найбільше значення виразу дорівнює –1. Отже, єдина можливість для рівності з синусом — це випадок, коли вираз дорівнює –1.

Популярне у 10 класі