ГДЗ до вправи 17.11 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 17.11
Порівняйте значення виразів $2 \sin \alpha$ і $\sin^2 \alpha$, якщо $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.
Розв'язок вправи № 17.11
Коротке рішення
$ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \Rightarrow 0 < \sin \alpha < 1 $
$ 2 \sin \alpha - \sin^2 \alpha = \sin \alpha (2 - \sin \alpha) $
$ \sin \alpha > 0, \quad 2 - \sin \alpha > 1 \Rightarrow \sin \alpha (2 - \sin \alpha) > 0 $
$ 2 \sin \alpha > \sin^2 \alpha $
Відповідь: $ 2 \sin \alpha > \sin^2 \alpha $.
Детальне рішення
Для порівняння значень тригонометричних виразів необхідно враховувати область значень функції на заданому проміжку. Теорія: Тригонометричні функції.
За умовою кут $\alpha$ належить першій чверті, де значення синуса додатні та не перевищують одиниці.
Оскільки $\sin \alpha < 1$, то подвоєне значення синуса завжди буде більшим за одиницю (якщо $\alpha > 30^\circ$) або просто більшим за сам синус. При піднесенні ж числа, меншого за 1, до квадрата, результат стає ще меншим за вихідне число.
Розглянувши різницю виразів, бачимо, що добуток додатного синуса на додатну різницю $(2 - \sin \alpha)$ завжди є додатним числом, що доводить нерівність.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.