ГДЗ до вправи 19.15 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

$ f(x + \frac{\pi}{2}) = f(x) \Rightarrow \frac{\cos 2(x + \frac{\pi}{2})}{3a + \sin 2(x + \frac{\pi}{2})} = \frac{\cos 2x}{3a + \sin 2x} $

$ \frac{\cos(2x + \pi)}{3a + \sin(2x + \pi)} = \frac{\cos 2x}{3a + \sin 2x} \Rightarrow \frac{-\cos 2x}{3a - \sin 2x} = \frac{\cos 2x}{3a + \sin 2x} $

$ \cos 2x (\frac{1}{3a + \sin 2x} + \frac{1}{3a - \sin 2x}) = 0 $

$ \cos 2x \cdot \frac{3a - \sin 2x + 3a + \sin 2x}{9a^2 - \sin^2 2x} = 0 \Rightarrow \frac{6a \cos 2x}{9a^2 - \sin^2 2x} = 0 $

$ 6a = 0 \Rightarrow a = 0 $

Відповідь: $ a = 0 $

Підставимо $ T = \frac{\pi}{2} $ у вираз функції. Після розкриття дужок в аргументах отримаємо зміщення на $ \pi $. За формулами зведення маємо $ \sin(2x + \pi) = -\sin 2x $ та $ \cos(2x + \pi) = -\cos 2x $.

Рівність набуває вигляду: $ \frac{-\cos 2x}{3a - \sin 2x} = \frac{\cos 2x}{3a + \sin 2x} $. Перенесемо все в один бік і винесемо спільний множник $ \cos 2x $ за дужки.

Після зведення до спільного знаменника в чисельнику отримуємо вираз $ 6a \cos 2x $. Щоб число $ \frac{\pi}{2} $ було періодом для всієї області визначення, чисельник має тотожно дорівнювати нулю, що можливо лише при $ a = 0 $.