До змісту

ГДЗ до вправи 19.3 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 19.3

Доведіть, що число TT є періодом функції ff:

  1. f(x)=ctg πx,T=3; f (x) = \text{ctg } \pi x, T = 3;
  2. f(x)=sin⁡(5x−2),T=4π5. f (x) = \sin (5x - 2), T = \frac{4\pi}{5}.

Розв'язок вправи № 19.3

Коротке рішення

1) f(x+3)=ctg (π(x+3))=ctg (πx+3π)=ctg πx=f(x) f(x + 3) = \text{ctg } (\pi (x + 3)) = \text{ctg } (\pi x + 3\pi) = \text{ctg } \pi x = f(x)

2) f(x+4π5)=sin⁡(5(x+4π5)−2)= f(x + \frac{4\pi}{5}) = \sin (5(x + \frac{4\pi}{5}) - 2) =
=sin⁡(5x+4π−2)=sin⁡(5x−2+4π)=sin⁡(5x−2)=f(x)= \sin (5x + 4\pi - 2) = \sin (5x - 2 + 4\pi) = \sin (5x - 2) = f(x)

Детальне рішення

Для доведення того, що число TT є періодом функції, необхідно показати виконання рівності f(x+T)=f(x) f(x + T) = f(x) для всіх xx з області визначення. Теорія: Тригонометричні функції.

  • У першому пункті після розкриття дужок у виразі котангенса отримуємо доданок 3π 3\pi . Оскільки період котангенса дорівнює π \pi , то будь-яке число вигляду πn \pi n (зокрема 3π 3\pi ) не змінює значення функції.
  • У другому пункті при підстановці значення T T у аргумент синуса отримуємо зміщення на 4π 4\pi . Синус є періодичною функцією з головним періодом 2π 2\pi , тому зміщення на будь-яке кратне число 2π 2\pi (у даному випадку 2⋅2π 2 \cdot 2\pi ) залишає значення функції незмінним.

Популярне у 10 класі