До змісту

ГДЗ до вправи 19.7 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 19.7

Доведіть, що число π\pi є періодом функції y=−sin⁡2xy = \sqrt{-\sin^2 x}.

Розв'язок вправи № 19.7

Коротке рішення

f(x+π)=−sin⁡2(x+π) f(x + \pi) = \sqrt{-\sin^2 (x + \pi)}

sin⁡(x+π)=−sin⁡x \sin (x + \pi) = -\sin x

(−sin⁡x)2=sin⁡2x (-\sin x)^2 = \sin^2 x

f(x+π)=−sin⁡2x=f(x) f(x + \pi) = \sqrt{-\sin^2 x} = f(x)

Детальне рішення

Для доведення періодичності необхідно проаналізувати область визначення функції та її значення при зміщенні аргументу на задане число. Теорія: Тригонометричні функції.

Функція визначена лише за умови, що підкореневий вираз невід'ємний: −sin⁡2x≥0 -\sin^2 x \ge 0 , що рівносильно sin⁡2x≤0 \sin^2 x \le 0 .

Оскільки квадрат будь-якого числа не може бути від'ємним, дана нерівність виконується лише тоді, коли sin⁡x=0 \sin x = 0 , тобто x=πk,k∈Z x = \pi k, k \in \mathbb{Z} .

Таким чином, область визначення функції складається з окремих точок на осі абсцис, відстань між якими кратна π \pi . При x∈D(f) x \in D(f) значення функції f(x)=0 f(x) = 0 . Оскільки при зміщенні на π \pi ми знову потрапляємо в точку з області визначення, де значення функції також дорівнює нулю, число π \pi є періодом даної функції.

Популярне у 10 класі