ГДЗ до вправи 23.30 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $\alpha, \beta \in \text{I чв.} \Rightarrow \cos \alpha = \sqrt{1 - \left( \frac{\sqrt{21}}{7} \right)^2} = \sqrt{\frac{49 - 21}{49}} = \frac{\sqrt{28}}{7} = \frac{2\sqrt{7}}{7}$

2) $\cos \beta = \sqrt{1 - \left( \frac{\sqrt{21}}{14} \right)^2} = \sqrt{\frac{196 - 21}{196}} = \frac{\sqrt{175}}{14} = \frac{5\sqrt{7}}{14}$

3) $\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = \frac{2\sqrt{7}}{7} \cdot \frac{5\sqrt{7}}{14} - \frac{\sqrt{21}}{7} \cdot \frac{\sqrt{21}}{14} = \frac{10 \cdot 7}{98} - \frac{21}{98} = \frac{70 - 21}{98} = \frac{49}{98} = \frac{1}{2}$

4) $0^\circ < \alpha + \beta < 180^\circ \Rightarrow \alpha + \beta = 60^\circ$

Відповідь: $60^\circ$.

• Оскільки кути $\alpha$ та $\beta$ знаходяться в першій чверті, їхні косинуси є додатними. Обчислюємо їх через основну тотожність $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.
• Знаходимо $\cos(\alpha + \beta)$ за формулою: $\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$. Підставляємо всі чотири відомі значення.
• Отриманий результат $\frac{1}{2}$ є табличним значенням косинуса.
• Враховуючи, що сума двох кутів першої чверті може бути лише в межах від $0^\circ$ до $180^\circ$, робимо висновок, що шукана сума дорівнює $60^\circ$.