ГДЗ до вправи 25.15 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 25.15
Використовуючи формули половинного кута, знайдіть:
- $\sin 15^\circ$;
- $\cos 15^\circ$;
- $\text{tg } 75^\circ$;
- $\cos 75^\circ$;
- $\text{tg } 112^\circ 30'$;
- $\text{tg } \frac{\pi}{8}$.
Розв'язок вправи № 25.15
Коротке рішення
1) $\sin 15^\circ = \sqrt{\frac{1 - \cos 30^\circ}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$
2) $\cos 15^\circ = \sqrt{\frac{1 + \cos 30^\circ}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$
3) $\text{tg } 75^\circ = \frac{1 - \cos 150^\circ}{\sin 150^\circ} = \frac{1 - (-\frac{\sqrt{3}}{2})}{\frac{1}{2}} = 2 + \sqrt{3}$
4) $\cos 75^\circ = \sqrt{\frac{1 + \cos 150^\circ}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$
5) $\text{tg } 112^\circ 30' = \frac{\sin 225^\circ}{1 + \cos 225^\circ} = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{-\sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} = -(1 + \sqrt{2})$
6) $\text{tg } \frac{\pi}{8} = \frac{1 - \cos \frac{\pi}{4}}{\sin \frac{\pi}{4}} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{2} - 1$
Детальне рішення
Розв'язання базується на формулах половинного аргументу, які дозволяють знайти значення функцій через косинус подвійного відносно них кута. Теорія: Формули половинного кута.
- Для синуса та косинуса використовуємо формули $\sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}}$ та $\cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}}$. Знак обирається відповідно до чверті, в якій знаходиться кут $\frac{\alpha}{2}$.
- Для тангенса зручно використовувати безкореневі формули $\text{tg } \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha}$ або $\text{tg } \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha}$, що значно спрощує обчислення та позбавляє необхідності аналізу знака модуля.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.