ГДЗ до вправи 25.32 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $ \frac{\cos 2\alpha}{\sin^2 2\alpha (\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} - \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha})} = \frac{\cos 2\alpha}{\sin^2 2\alpha \cdot \frac{\cos 4\alpha - \sin 4\alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}} = \frac{\cos 2\alpha}{\sin^2 2\alpha \cdot \frac{\cos 2\alpha \cdot 1}{\frac{1}{4} \sin^2 2\alpha}} = \frac{1}{4} $

2) $ \frac{\sin^2 \alpha - 4 \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\sin^2 \alpha - 4 \cos^2 \frac{\alpha}{2}} = \frac{4 \sin^2 \frac{\alpha}{2} \cos^2 \frac{\alpha}{2} - 4 \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{4 \sin^2 \frac{\alpha}{2} \cos^2 \frac{\alpha}{2} - 4 \cos^2 \frac{\alpha}{2}} = \frac{4 \sin^2 \frac{\alpha}{2} (\cos^2 \frac{\alpha}{2} - 1)}{-4 \cos^2 \frac{\alpha}{2} (1 - \sin^2 \frac{\alpha}{2})} = \frac{-\sin^4 \frac{\alpha}{2}}{-\cos^4 \frac{\alpha}{2}} = \text{tg}^4 \frac{\alpha}{2} $

3) $ \frac{\frac{1}{2} (\cos 2\alpha - \cos \frac{\pi}{2})}{\sin (3\alpha - \alpha)} = \frac{\frac{1}{2} \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = \frac{1}{2} \text{ctg } 2\alpha $

4) $ \frac{\text{tg} (\frac{\pi}{4} - 4\alpha) \sin^2 (\frac{\pi}{4} + 4\alpha)}{-\cos 8\alpha} = \frac{\frac{\cos 4\alpha - \sin 4\alpha}{\cos 4\alpha + \sin 4\alpha} \cdot \frac{(\cos 4\alpha + \sin 4\alpha)^2}{2}}{-\cos 8\alpha} = \frac{\frac{1}{2} \cos 8\alpha}{-\cos 8\alpha} = -\frac{1}{2} $

• У першому пункті знаменник спрощується через приведення тангенса та котангенса до спільного знаменника та використання формули різниці четвертих степенів.
• У другому пункті аргументи функцій зводяться до кута $\frac{\alpha}{2}$ за формулами зведення, що дозволяє винести спільні множники та отримати тангенс у четвертому степені.
• У третьому пункті чисельник перетворюється за формулою добутку синусів, а знаменник згортається за формулою синуса різниці аргументів.
• У четвертому пункті використано формули половинного кута для перетворення квадрата синуса та тангенса суми, що призводить до числового результату $-0,5$.