ГДЗ до вправи 25.34 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $\sin 54^\circ \cos 72^\circ = \cos 36^\circ \sin 18^\circ = \frac{2 \sin 18^\circ \cos 18^\circ \cos 36^\circ}{2 \cos 18^\circ} = \frac{\sin 36^\circ \cos 36^\circ}{2 \cos 18^\circ} = \frac{\sin 72^\circ}{4 \cos 18^\circ} = \frac{\cos 18^\circ}{4 \cos 18^\circ} = \frac{1}{4}$

2) $8 \cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7} = \frac{8 \sin \frac{\pi}{7} \cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7}}{\sin \frac{\pi}{7}} = \frac{4 \sin \frac{2\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7}}{\sin \frac{\pi}{7}} = \frac{2 \sin \frac{4\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7}}{\sin \frac{\pi}{7}} = \frac{\sin \frac{8\pi}{7}}{\sin \frac{\pi}{7}} = \frac{-\sin \frac{\pi}{7}}{\sin \frac{\pi}{7}} = -1$

3) $\cos 3\alpha \cos 6\alpha \cos 12\alpha = \frac{2 \sin 3\alpha \cos 3\alpha \cos 6\alpha \cos 12\alpha}{2 \sin 3\alpha} = \frac{\sin 6\alpha \cos 6\alpha \cos 12\alpha}{2 \sin 3\alpha} = \frac{\sin 12\alpha \cos 12\alpha}{4 \sin 3\alpha} = \frac{\sin 24\alpha}{8 \sin 3\alpha}$

• У першому пункті переходимо до косинуса $36^\circ$ та синуса $18^\circ$ за формулами зведення. Далі множимо на $2\cos 18^\circ$ у чисельнику та знаменнику, що дозволяє двічі застосувати формулу синуса подвійного кута.
• У другому пункті вводимо множник $\sin \frac{\pi}{7}$. Ланцюжок перетворень призводить до $\sin \frac{8\pi}{7}$ у чисельнику. Оскільки $\sin \frac{8\pi}{7} = \sin (\pi + \frac{\pi}{7}) = -\sin \frac{\pi}{7}$, отримуємо $-1$.
• У третьому пункті виводимо загальну формулу для добутку косинусів з кратними аргументами. Множення на $2\sin 3\alpha$ запускає процес послідовного згортання чисельника до $\sin 24\alpha$.