ГДЗ до вправи 25.36 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 25.36
Обчисліть $\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha$, якщо $\alpha = \frac{\pi}{24}$.
Розв'язок вправи № 25.36
Коротке рішення
$\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)(\sin^4 \alpha - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha) =$
$= 1 \cdot ((\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 - 3 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha) = 1 - \frac{3}{4} \sin^2 2\alpha$
При $\alpha = \frac{\pi}{24} \Rightarrow 2\alpha = \frac{\pi}{12}$.
$\sin^6 \frac{\pi}{24} + \cos^6 \frac{\pi}{24} = 1 - \frac{3}{4} \sin^2 \frac{\pi}{12} = 1 - \frac{3}{4} \cdot \frac{1 - \cos \frac{\pi}{6}}{2} =$
$= 1 - \frac{3}{8} \left( 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{16 - 6 + 3\sqrt{3}}{16} = \frac{10 + 3\sqrt{3}}{16}$
Відповідь: $\frac{10 + 3\sqrt{3}}{16}$.
Детальне рішення
Обчислення виразу ґрунтується на розкладанні суми кубів та застосуванні формул подвійного кута. Теорія: Формули тригонометрії.
Представляємо $\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha$ як $(\sin^2 \alpha)^3 + (\cos^2 \alpha)^3$. Використовуючи формулу суми кубів та основну тригонометричну тотожність, вираз спрощується до вигляду $1 - \frac{3}{4} \sin^2 2\alpha$.
Підставляючи значення $\alpha = \frac{\pi}{24}$, отримуємо функцію від кута $\frac{\pi}{12}$. Для її знаходження використовуємо формулу пониження степеня, яка зводить обчислення до відомого табличного значення $\cos \frac{\pi}{6}$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.