ГДЗ до вправи 25.9 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 25.9
Доведіть тотожність:
- $ 2 \sin^2 \alpha + \cos 2\alpha = 1 $;
- $ \text{ctg } 3\alpha (1 - \cos 6\alpha) = \sin 6\alpha $;
- $ \frac{1 - \cos 2\alpha}{\sin^2 \alpha} = 2 $;
- $ \frac{1 - \cos 4\alpha}{1 + \cos 4\alpha} = \text{tg}^2 2\alpha $.
Розв'язок вправи № 25.9
Коротке рішення
1) $ 2 \sin^2 \alpha + \cos 2\alpha = 2 \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $
2) $ \text{ctg } 3\alpha (1 - \cos 6\alpha) = \frac{\cos 3\alpha}{\sin 3\alpha} \cdot 2 \sin^2 3\alpha = 2 \sin 3\alpha \cos 3\alpha = \sin 6\alpha $
3) $ \frac{1 - \cos 2\alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{2 \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = 2 $
4) $ \frac{1 - \cos 4\alpha}{1 + \cos 4\alpha} = \frac{2 \sin^2 2\alpha}{2 \cos^2 2\alpha} = \text{tg}^2 2\alpha $
Детальне рішення
Доведення тотожностей базується на застосуванні формул подвійного кута та наслідків з них (формул пониження степеня). Теорія: Формули подвійного аргументу.
- У першому пункті використано формулу косинуса подвійного аргументу. Після розкриття дужок та спрощення вираз зводиться до основної тригонометричної тотожності.
- У другому пункті різниця $(1 - \cos 6\alpha)$ замінюється на $2 \sin^2 3\alpha$. Після множення на котангенс, виражений через синус і косинус, отримуємо формулу синуса подвійного кута.
- У третьому та четвертому пунктах застосовуються формули для виразів $1 \mp \cos 2x$. Скорочення спільних множників у чисельнику та знаменнику приводить до шуканого результату.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.