ГДЗ до вправи 25.14 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 25.14
Дано: $\cos \alpha = \frac{3}{4}$, $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. Знайдіть $\sin \frac{\alpha}{2}$, $\cos \frac{\alpha}{2}$ і $\text{tg } \frac{\alpha}{2}$.
Розв'язок вправи № 25.14
Коротке рішення
$\alpha \in (0; \frac{\pi}{2}) \Rightarrow \frac{\alpha}{2} \in (0; \frac{\pi}{4}) \in \text{I чв.} \Rightarrow \sin \frac{\alpha}{2}, \cos \frac{\alpha}{2}, \text{tg } \frac{\alpha}{2} > 0$.
$\sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 - 3/4}{2}} = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$
$\cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 + 3/4}{2}} = \sqrt{\frac{7}{8}} = \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{4}$
$\text{tg } \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin (\alpha/2)}{\cos (\alpha/2)} = \frac{\sqrt{2}}{4} : \frac{\sqrt{14}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{14}} = \frac{1}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{7}$
Детальне рішення
Для знаходження тригонометричних функцій половинного кута використовуємо відповідні формули, що випливають з косинуса подвійного кута. Довідник: Формули половинного аргументу.
- Першим кроком визначаємо область значень для аргументу $\frac{\alpha}{2}$. Оскільки початковий кут лежить у першій чверті, його половина також належить першій чверті, де всі тригонометричні функції мають додатні значення.
- Обчислюємо синус та косинус половинного кута за формулами $\sqrt{\frac{1 \mp \cos \alpha}{2}}$. Отримані результати спрощуємо, позбуваючись ірраціональності в знаменниках дробів.
- Тангенс половинного кута знаходимо як відношення отриманих значень синуса та косинуса. Після скорочення спільних множників та раціоналізації знаменника отримуємо остаточну відповідь.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.