ГДЗ до вправи 26.12 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 26.12
Доведіть тотожність:
- $1 - 2 \cos \alpha + \cos 2\alpha = -4 \cos \alpha \sin^2 \frac{\alpha}{2}$;
- $1 - \sin \alpha - \cos \alpha = 2 \sqrt{2} \sin \frac{\alpha}{2} \sin \left( \frac{\alpha}{2} - 45^\circ \right)$.
Розв'язок вправи № 26.12
Коротке рішення
1) $1 + \cos 2\alpha - 2 \cos \alpha = 2 \cos^2 \alpha - 2 \cos \alpha = 2 \cos \alpha (\cos \alpha - 1) = 2 \cos \alpha \cdot \left( -2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} \right) = -4 \cos \alpha \sin^2 \frac{\alpha}{2}$.
2) $(1 - \cos \alpha) - \sin \alpha = 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} - 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \left( \sin \frac{\alpha}{2} - \cos \frac{\alpha}{2} \right) = $
$ = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cdot \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \frac{\alpha}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \frac{\alpha}{2} \right) = 2\sqrt{2} \sin \frac{\alpha}{2} \left( \sin \frac{\alpha}{2} \cos 45^\circ - \cos \frac{\alpha}{2} \sin 45^\circ \right) = 2\sqrt{2} \sin \frac{\alpha}{2} \sin \left( \frac{\alpha}{2} - 45^\circ \right)$.
Детальне рішення
Для доведення тотожностей використовуються методи групування доданків та формули переходу до половинного аргументу. Теорія: Тригонометричні перетворення.
- У першому пункті групуємо одиницю з косинусом подвійного кута для утворення виразу $2\cos^2 \alpha$. Після винесення спільного множника застосовується формула різниці $1 - \cos \alpha$, що приводить до шуканого вигляду з синусом у квадраті.
- У другому пункті перетворюємо різницю $(1 - \cos \alpha)$ та розкладаємо синус одинарного кута. Вираз у дужках згортається за формулою синуса різниці після винесення множника $\sqrt{2}$, що дозволяє представити числові коефіцієнти як значення функцій кута $45^\circ$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.