До змісту

ГДЗ до вправи 26.14 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 26.14

Спростіть вираз:

1) sin⁡2α+sin⁡2β+cos⁡(α+β)cos⁡(α−β);\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \cos (\alpha + \beta) \cos (\alpha - \beta);

2) cos⁡2(45∘−α)−cos⁡2(60∘+α)−sin⁡(75∘−2α)cos⁡75∘.\cos^2 (45^\circ - \alpha) - \cos^2 (60^\circ + \alpha) - \sin (75^\circ - 2\alpha) \cos 75^\circ.

Розв'язок вправи № 26.14

Коротке рішення

1) sin⁡2α+sin⁡2β+(cos⁡2α−sin⁡2β)=sin⁡2α+sin⁡2β+cos⁡2α−sin⁡2β=\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + (\cos^2 \alpha - \sin^2 \beta) = \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \cos^2 \alpha - \sin^2 \beta =
=sin⁡2α+cos⁡2α=1= \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.

2) 1+cos⁡(90∘−2α)2−1+cos⁡(120∘+2α)2−12(sin⁡(150∘−2α)+sin⁡(−2α))=\frac{1 + \cos(90^\circ - 2\alpha)}{2} - \frac{1 + \cos(120^\circ + 2\alpha)}{2} - \frac{1}{2} (\sin(150^\circ - 2\alpha) + \sin(-2\alpha)) =
=12(1+sin⁡2α−1+sin⁡(30∘+2α)−sin⁡(30∘+2α)+sin⁡2α)== \frac{1}{2} (1 + \sin 2\alpha - 1 + \sin(30^\circ + 2\alpha) - \sin(30^\circ + 2\alpha) + \sin 2\alpha) =
=2sin⁡2α2=sin⁡2α= \frac{2 \sin 2\alpha}{2} = \sin 2\alpha.

Детальне рішення

Для розв'язання вправи використовуються формули зведення, пониження степеня та перетворення добутку тригонометричних функцій у суму. Теорія: Тригонометричні перетворення.

  • У першому пункті використано наслідок з формул додавання: cos⁡(x+y)cos⁡(x−y)=cos⁡2x−sin⁡2y\cos(x+y)\cos(x-y) = \cos^2 x - \sin^2 y. Після підстановки та розкриття дужок вираз спрощується до одиниці.
  • У другому пункті квадрати косинусів замінюються за формулою пониження степеня. Добуток синуса на косинус перетворюється у суму синусів за відповідною формулою. Завдяки формулам зведення, складні аргументи спрощуються, що призводить до взаємного знищення більшості доданків.

Популярне у 10 класі