ГДЗ до вправи 26.13 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $\sin^2 \alpha + \cos^2 \frac{\pi}{3} - \sin^2 \alpha = \cos^2 \frac{\pi}{3} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$.

2) $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta - (\cos^2 \alpha - \sin^2 \beta) = \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta - \cos^2 \alpha + \sin^2 \beta = \cos^2 \beta + \sin^2 \beta = 1$.

3) $\frac{1 + \cos(90^\circ + 2\alpha)}{2} - \frac{1 + \cos(60^\circ - 2\alpha)}{2} + \frac{1}{2} (\cos(60^\circ - 2\alpha) - \cos(90^\circ - 2\alpha)) = $

$ = \frac{1 - \sin 2\alpha - 1 - \cos(60^\circ - 2\alpha) + \cos(60^\circ - 2\alpha) - \sin 2\alpha}{2} = \frac{-2 \sin 2\alpha}{2} = -\sin 2\alpha$.

• У першому пункті застосована тотожність $\cos(x-y)\cos(x+y) = \cos^2 x - \sin^2 y$. Це дозволяє миттєво скоротити $\sin^2 \alpha$ та отримати квадрат косинуса $60$ градусів.
• У другому пункті використано ту саму тотожність для аргументів $\alpha$ та $\beta$. Після розкриття дужок вираз зводиться до основної тригонометричної тотожності, що дорівнює одиниці.
• У третьому пункті використано формули пониження степеня для квадратів косинусів та перетворення добутку синусів у різницю косинусів. Спільний знаменник $2$ та застосування формул зведення призводять до результату $-\sin 2\alpha$.