ГДЗ до вправи 30.42 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 30.42
Розв'яжіть рівняння $(\arcsin x)^2 + (\arccos x)^2 = \frac{5\pi^2}{36}$.
Розв'язок вправи № 30.42
Коротке рішення
$\arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x$. Нехай $\arcsin x = t, \quad t \in \left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right]$.
$t^2 + \left( \frac{\pi}{2} - t \right)^2 = \frac{5\pi^2}{36} \Rightarrow t^2 + \frac{\pi^2}{4} - \pi t + t^2 = \frac{5\pi^2}{36}$
$2t^2 - \pi t + \frac{9\pi^2 - 5\pi^2}{36} = 0 \Rightarrow 2t^2 - \pi t + \frac{\pi^2}{9} = 0$
$18t^2 - 9\pi t + \pi^2 = 0, \quad D = 81\pi^2 - 72\pi^2 = 9\pi^2$
$t_1 = \frac{9\pi - 3\pi}{36} = \frac{\pi}{6}; \quad t_2 = \frac{9\pi + 3\pi}{36} = \frac{\pi}{3}$. Обидва корені $\in \left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right]$.
1) $\arcsin x = \frac{\pi}{6} \Rightarrow x = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$.
2) $\arcsin x = \frac{\pi}{3} \Rightarrow x = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Відповідь: $\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Детальне рішення
Для розв'язання рівнянь, що містять одночасно $\arcsin x$ та $\arccos x$, використовується тотожність $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$. Довідник: Співвідношення між оберненими тригонометричними функціями.
- Крок 1: Робимо заміну, виражаючи одну функцію через іншу. Це дозволяє перейти від рівняння з двома невідомими до стандартного квадратного рівняння.
- Крок 2: Знаходимо дискримінант та корені для допоміжної змінної $t$. Важливо перевірити, чи входять отримані значення $t$ до області значень арксинуса.
- Крок 3: Виконуємо зворотну заміну. Знаходимо шукані значення $x$ за табличними значеннями синуса.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.